高中數學 233-234（第2課時）直線與平面、平面與平面垂直的性質課件新人教a版必修2-文庫吧

2025-10-15 08:10 本頁面

【正文】， ∴ a ′ ⊥ AB . ∵ α ⊥ β ， α ∩ β ＝ AB ， ∴ a ′ ⊥ β ， ∴ a ⊥ β . 求點到面的距離 [ 例 2] 已知 △ ABC ， AC ＝ BC ＝ 1 ， AB ＝ 2 ，又已知 S 是△ AB C 所在平面外一點， SA ＝ SB ＝ 2 ， SC ＝ 5 ，點 P 是 SC 的中點，求點 P 到平面 ABC 的距離． [ 解 ] 法一：如圖所示，連接 PA ， PB .易知 △ S AC ， △ACB 是直角三角形，所以 SA ⊥ AC ， BC ⊥ AC . 取 AB 、 AC 的中點 E 、 F ，連接 PF ， EF ， PE ，則 EF ∥ BC ， PF ∥ SA . 所以 EF ⊥ AC ， PF ⊥ AC . 因為 PF ∩ EF ＝ F ，所以 AC ⊥ 平面 PE F . 又 PE ? 平面 PEF ，所以 PE ⊥ AC . 易證 △ S AC ≌△ S BC .因為 P 是 SC 的中點，所以 PA ＝ PB . 而 E 是 AB 的中點，所以 PE ⊥ AB . 因為 AB ∩ AC ＝ A ，所以 PE ⊥ 平面 AB C . 從而 PE 的長就是點 P 到平面 ABC 的距離．在 Rt △ AEP 中， AP ＝12SC ＝52， AE ＝12AB ＝22，所以 PE ＝ AP2－ AE2＝ 54－12＝32，即點 P 到平面 A BC 的距離為32. 法二：如圖所示，過 A 作 AE ∥ BC ，過 B 作 BF ∥ AC ，交 AE 于點 D ，則四邊形 A CB D 為正方形．連接 SD . 因為 AC ⊥ SA ， AC ⊥ AD ， S A ∩ AD ＝ A ，所以 AC ⊥ 平面 S DA . 所以 AC ⊥ SD . 又由題意，可知 BC ⊥ SB . 因為 BC ⊥ BD ， SB ∩ BD ＝ B ，所以 BC ⊥ 平面 S DB ，所以 BC ⊥ SD . 又 BC ∩ AC ＝ C ，于是 SD ⊥ 平面 AC BD . 所以 SD 的長為點 S 到平面 AB C 的距離．在 Rt △ S DA 中易得 SD ＝ SA2－ AD2＝ 22－ 12＝ 3 . 因為 P 為 SC 的中點，故點 P 到平面 ABC 的距離為

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