不等式的證明方法（5篇）-文庫吧

【正文】 ，例20 求證：sinxsiny163。 設 f(x)=sinx，則sinxsiny=(xy)sin162。x=(xy)cosx 故 sinxsiny163。(xy)cosx163。例 21 證明不等式3(1a+1b+1c)1163。3abc, 其中a,b, 設拉格朗日函數為對L(x,y,z,l)=xyz+l(1x+1y+1z1r).對L求偏導數并令它們都等于0，則有Lx=yzlx2=0，Ly=zxly2=0，Lz=xylx2=0，Ll=1x+1y+1z1r=，易的1x=1y=1z=xyz=，求出m==y=z=3r,l=(3r)+1y+1z=1r為了判斷f(3r,3r,3r)=(3r)3是否為所求條件極小值，我們可把條件看作隱函數z=z(x,y)（滿足隱函數定理條件），并把目標函數f(x,y,z)=xyz(x,y)=F(x,y)看作f與z=z(x,y)，：zx=zx22,zy=zy22，Fx=yzyzx2,Fy=xzxzy2，中原工學院F=2yz3,F=zz2z2+2z3，xxx3xyyxxy2xz3Fyy==y=z=3r時，Fxx=6r=Fyy,Fxy=3r，F2xxFyyF=27r2，所求得的穩定點為極小值點，179。(3r)3(x0,y0,z0,111x+y+z=1r).令x=a,y=b,z=c,則r=(1+1+1abc)1,代入不等式有abc179。[3(11a+1b+1c)]3或 3(1+11ab+1c)163。3abc(a0,b0,c0).中原工學院 利用著名不等式證明[1516]設a1,a2,L,an是n個正實數，則a1+a2+L+an179。na1a2Lan，當且僅當na1=a2=L= 證明柯西不等式(229。a22nibi)163。(229。ai)(229。b2i).i=1i=1i=1證明 要證柯西不等式成立，只要證nnn 229。a229。a2ibi163。i229。b2i（1）i=1i=1i=1nn令 229。a2i=A2,229。b2i=B2,（2）i=1i=1n式中A0,B0,則（1）即 229。aibi163。ABi=1n229。aibi即i=1AB163。1（3）a2b22211下面證不等式(3),有均值不等式，a1b1A2+B2A2B2163。2，2即2a1b1a21AB163。A2+b1B2，2a22b22a22a2ABA2+b2nbna2同理163。nB2，K，AB163。A2+，得nn2n229。a2i229。b2i(229。abi=11ABii)163。2+i=2i=1AB(4)中原工學院根據（2），（4）式即2AB(229。aibi)163。=1n因此不等式（3）成立，[1718]n例23 設ai206。R，i=1，2，?，n．求證：229。i=11230。n246。2ai179。231。229。ai247。．n232。i=1248。2證明 由柯西不等式n230。n246。230。n246。230。n2246。230。n2246。2231。229。ai247。=231。229。ai180。1247。163。231。229。ai247。231。229。1247。=n229。ai．i=1232。i=1248。232。i=1248。232。i=1248。232。i=1248。22兩邊除以n即得．說明：兩邊乘以1n后開方得1nia229。ni=1163。1n2ia229。ni=1．當ai為正數時為均值不等式中的算術平均不大于平方平均． [19] 例24 設a,b為正常數，0xabp2，n206。N，求證：n+22n+22230。 n+179。231。ansinxcosx232。2+bn+2246。247。248。2n2b246。n+2b246。n+2230。a230。a22+證明 231。n+= sinx+cosx)n+2 (247。231。247。nnn232。sinxcosx248。232。sinxcosx248。2230。a246。 179。231。n247。232。sinx248。2n+2(sinx)22nn+22230。b246。+231。247。n232。cosx248。n+2(cosx)2nn+2即asinxn= an+2+bn+2n+2+230。179。231。ancosx232。b2n+2246。+bn+2247。248。22[20] 例 25 證明不等式a+b+c(abc)3163。abc, 其中a,b, 設 f(x)=xlnx,x(x)的一階和二階導數f162。(x)=lnx+1,f162。162。(x)=1x中原工學院可見，f(x)=xlnx在xf(a+b+c3)163。13(f(a)+f(b)+f(c))，從而a+b+ca+b+c3ln3163。13(alna+blnb+clnc)，即(a+b+c+cbc3)a+b163。163。a+b+c3,所以a+b+c(abc)3163。aabbcc.第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數學的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。基本思想是把難于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數式時常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結合a+b≥0來說明作差后的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。∵（a3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當且僅當a=b時，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立練習2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式性質推算出要證明不等式。例4，設a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習3：已知a、b、c為正數，n是正整數，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）舍去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換小）某些項，（3）擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等。例6：已知a、b、c、d都是正數求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習5：已知：a