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山西專用20xx中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題七幾何圖形的探究猜想與證明課件(已修改)

2026-06-28 06:49 本頁面

　

【正文】專題七　幾何圖形的探究猜想與證明類型一一般的猜想探究題題型特點(diǎn)一般幾何題的猜想與證明近幾年在中考中間斷性出現(xiàn) ,以學(xué)生探究為主線 ,置身于數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決中 ,一般在 22題以綜合與實(shí)踐的形式出現(xiàn) ,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力 .常綜合平行線、等腰三角形 (等邊三角形 )、直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形等知識(shí)為一體 ,借助邏輯推理一步一步證明 ,建立方程模型思想 ,如常見的通過勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成研題型解易比例、解直角三角形、面積法、平行線分線段成比例定理等得出關(guān)于未知數(shù)的方程 ,從而求解 .方法規(guī)律在復(fù)習(xí)一般幾何題的猜想探究題目時(shí) ,要注意證明推理和方程模型計(jì)算的綜合 ,要對(duì)條件進(jìn)行合理猜想與推理 ,結(jié)合自己的解題經(jīng)驗(yàn)及對(duì)題目的把握靈活處理 .復(fù)習(xí)時(shí)注意以下幾點(diǎn) :注意總結(jié)考查知識(shí)的面與點(diǎn) ,了解此類題目的特點(diǎn) 。針對(duì)此類問題的練習(xí)要注意總結(jié)知識(shí)間的聯(lián)系 ,提升思維的開放性。針對(duì)自己在做題中遇到的問題進(jìn)行相應(yīng)的總結(jié)與練習(xí) ,不斷提升分析問題、解決問題的能力 .典例 1(2022山西 )問題情境 :在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上 ,老師出示了這樣一個(gè)問題 :如圖1,在矩形 ABCD中 ,AD=2AB,E是 AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ,且 BE=AB,連接 DE,交 BC于點(diǎn) M,以 DE為一邊在 DE的左下方作正方形 DEFG,連接 AM與DE的位置關(guān)系 .探究展示 :勤奮小組發(fā)現(xiàn) ,AM垂直平分 DE,并展示了如下的證明方法 :解題策略圖 1　　證明 :∵ BE=AB,∴ AE=2AB.∵ AD=2AB,∴ AD=AE.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD∥ BC.∴ ? =? .(依據(jù) 1)∵ BE=AB,∴ ? =1.∴ EM=DM.　　即 AM是 △ ADE的 DE邊上的中線 ,又 ∵ AD=AE,　　 ∴ AM⊥ DE.(依據(jù) 2)∴ AM垂直平分 DE.反思交流 :(1)① 上述證明過程中的 “依據(jù) 1”“依據(jù) 2”分別是指什么 ?② 試判斷圖 1中的點(diǎn) A是否在線段 GF的垂直平分線上 ,請(qǐng)直接回答 ,不必證明。(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā) ,繼續(xù)進(jìn)行探究 ,如圖 2,連接 CE,以 CE為一邊在 CE的左下方作正方形 CEFG,發(fā)現(xiàn)點(diǎn) G在線段 BC的垂直平分線上 ,請(qǐng)你給出證明。探索發(fā)現(xiàn) :(3)如圖 3,連接 CE,以 CE為一邊在 CE的右上方作正方形 CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn) C、點(diǎn) B都在線段 AE的垂直平分線上 ,除此之外 ,請(qǐng)觀察矩形 ABCD和正方形 CEFG的頂點(diǎn)與邊 ,你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上 ?請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 ,并加以證明 .?圖 2　 ?圖 3思路點(diǎn)撥　根據(jù)平行線分線段成比例 ,三線合一 ,正方形、矩形性質(zhì) ,全等等知識(shí)解答 .(1)① 答 :依據(jù) 1:兩條直線被一組平行線所截 ,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 (或平行線分線段成比例 ).依據(jù) 2:等腰三角形頂角的平分線 ,底邊上的中線及底邊上的高互相重合 (或等腰三角形的 “三線合一 ”).② 答 :點(diǎn) A在線段 GF的垂直平分線上 .(2)證明 △ GHC≌△ CBE,得出 HC? BH.(3)先證 △ ENF≌△ EBC,再證 BM? MC.開放解答解析　 (1)① 依據(jù) 1:兩條直線被一組平行線所截 ,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 (或平行線分線段成比例 ).依據(jù) 2:等腰三角形頂角的平分線 ,底邊上的中線及底邊上的高互相重合 (或等腰三角形的 “三線合一 ”).② 點(diǎn) A在線段 GF的垂直平分線上 .(2)過點(diǎn) G作 GH⊥ BC于點(diǎn) H,證明 :過點(diǎn) G作 GH⊥ BC于點(diǎn) H.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,點(diǎn) E在 AB的延長(zhǎng)線上 ,∴∠ CBE=∠ ABC=∠ GHC=90176。.∴∠ 1+∠ 2=90176。.∵ 四邊形 CEFG為正方形 ,∴ CG=CE,∠ GCE=90176。.∴∠ 1+∠ 3=90176。,∴∠ 2=∠ 3.∴△ GHC≌△ CBE.∴ HC=BE.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD=BC.∵ AD=2AB,BE=AB,∴ BC=2BE=2HC,∴ HC=BH.∴ GH垂直平分 BC.∴ 點(diǎn) G在 BC的垂直平分線上 .(3)過點(diǎn) F作 FM⊥ BC于點(diǎn) M,過點(diǎn) E作 EN⊥ FM于點(diǎn) N,點(diǎn) F在 BC邊的垂直平分線上 (或點(diǎn) F在 AD邊的垂直平分線上 ).證法一 :過點(diǎn) F作 FM? BC于點(diǎn) M,過點(diǎn) E作 EN? FM于點(diǎn) N.則有 ∠ BMN=∠ ENM=∠ ENF=90176。.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,點(diǎn) E在 AB的延長(zhǎng)線上 ,∴∠ CBE=∠ ABC=90176。.∴ 四邊形 BENM為矩形 .∴ BM=EN,∠ BEN=90176。.∴∠ 1+∠ 2=90176。.∵ 四邊形 CEFG為正方形 ,∴ EF=EC,∠ CEF=90176。.∴∠ 2+∠ 3=90176。.∴∠ 1=∠ 3.∵∠ CBE=∠ ENF=90176。,∴△ ENF≌△ EBC.∴ NE=BE.∴ BM=BE.∵ 四邊形ABCD是矩形 ,∴ AD=BC.∵ AD=2AB,AB=BE,∴ BC=2BM.∴ BM=MC.∴ FM垂直平分 BC,∴ 點(diǎn) F在 BC邊的垂直平分線上 .證法二 :過 F作 FN⊥ BE交 BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N,連接 FB,FC.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,點(diǎn) E在 AB的延長(zhǎng)線上 ,∴∠ CBE=∠ ABC=∠

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