不等式的證明方法5篇(已修改)

　

【正文】 第一篇：不等式的證明方法中原工學院 常用方法（作差法）[1]在比較兩個實數a和b的大小時，：作差——變形——判斷（正號、負號、零）.變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、 已知：a0，b0，求證：證明 a+b2a+b2179。)2ab=a+b2ab2a+b2179。ab=(a2179。0，故得 .在證題時，一般在a，b均為正數時，借助作商——變形——判斷（大于1或小于1）.例2 設ab0，求證：aabb 因為 ab0，所以 而abaab1或ab1來判斷其大小，步驟一般為：1，ab=231。247。232。b248。ab1，故 aabb（逆推法）從要證明的結論出發(fā)，一步一步地推導，最后達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等）， 求證：5+71+ 要證3519+4155+71+15，即證12+23516+215，即352+15，41516，154，15 5+71+ [2]中原工學院證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論， 已知：a，b同號，求證：證明 因為a，b同號，所以 則abab+ba179。+0，baabbaab0，ba179。2ba180。=2，即 [3]+179。，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性， 已知ab0，n是大于1的整數，求證：na 假設 na163。nb，則 n即baba179。1，179。1，故 b179。a，這與已知矛盾，所以na把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質， 已知：a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=1，求證: a1b1+a2b2+L+anbn163。[4]證明 因為a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=1，所以 a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=a1b1+a2b2+L+anbn163。a1+a2+L+an180。***b1+b2+L+bn=1180。1=1，222中原工學院[5]在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），“放”、“縮”得當，：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找“中介量” 求證： 180。2134180。180。5656180。L180。***00022.,則 證明 令p=p212180。34180。L180。=122180。3422180。5622180。L180。9999100001212180。32241180。L180。999910000221=110001110000，所以 p[6]對于含有n(n206。N)的不等式，當n取第一個值時不等式成立，如果使不等式在n=k(n206。N)時成立的假設下，還能證明不等式在n=k+1時也成立， 已知：a,b206。R+，n206。N，n185。1，求證：an+bn179。an1b+（1）當n=2時，a2+b2179。ab+ab=2ab，不等式成立；（2）若n=k時，ak+bk179。ak1b+abk1成立，則ak+1+bk+1=a(a+b)abkkk+bk+1179。a(ak1b+abk1)abk+bk+1=akb+abk+(a2bk12abk+bk+1)=akb+abk+bk1(ab)2179。akb+abk，即ak+1+bk+1179。akb+（1）、（2），an+bn179。an1b+在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當的輔助未知數， 已知：a+b+c=1，求證：ab+bc+ca163。證明 設a=13t，b=13at(t206。R)，則c=13+(1+a)t，230。1246。230。1246。230。1246。233。1249。230。1246。233。1249。ab+bc+ca=231。t247。231。at247。+231。at247。234。+(1+a)t+231。t247。234。+(1+a)t232。3248。232。3248。232。3248。235。3232。3248。235。3=13(1+a+a)t22163。13，13所以 ab+bc+ca163。.借助三角變換， 已知：a2+b2=1，x2+y2=1，求證：ax+by163。 設a=sinq，則b=cosq；設x=sinj，則y=cosj 所以 ax+by=sinqsinj+cosqcosj=cos(qj)163。通過構造一元二次方程，利用關于某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍， 設x,y206。R，且x2+y2=1，求證：yax163。1+ 設m=yax，則y=ax+m 代入x2+y2=1中得 x2+(ax+m)2=1，即(1+a2)x2+2amx+(m21)=0 因為x,y206。R，1+a2185。0，所以D179。0，即(2am)24(1+a2)(m21)179。0，解得 m163。1+a2，故yax163。1+[8]形如f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn的函數，其中0xi163。p，且x1+x2+L+xn為常數，則當xi的值之間越接近時，f(x1,x2,L,xn)[7]的值越大（或不變）；當x1=x2=L=xn時，f(x1,x2,L,xn)取最大值，即中原工學院nf(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn163。sinx1+x2+L+xnnA+：當A+B為常數時，有sinAsinB163。sin證明：記A+B=C，則f(x)=+B2=sinAsin(CA)sin2C2, 求導得 f162。(A)=sin(C2A)，由f162。(A)=0得 C=2A，即A= f162。162。(A)=cos(BA)0, 知f162。(A)的極大值點必在A==B時，f162。(A)=0， 設A,B,C為三角形的三內角，求證：sin證明 由標準化定理得，當A=B=C時，sinA2=sinB2=sinA2sinC2B2=sin12C2A2sinB2sinC2163。18.，取最大值，8163。181故 .應用一些等式的結論，（1956年波蘭數學競賽題）、a,b,c為DABC的三邊長，求證：2ab+2ac+2bca+b+(a+b+c)證明 由海倫公式SDABC=兩邊平方，移項整理得16(SDABC)2p(pa)(pb)(pc)，其中p=.=2ab+2ac+2bcabc222222444而SDABC0, 所以 2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+按照一定的法則，把一個數或式分解為幾個數或式，使復雜問題轉化為簡單易解的基中原工學院本問題，以便分而治之，各個擊破， n179。2，且n206。N，求證：1+證明 因為 1+12+13+L+112+13+L+1nn(nn+11).230。1246。230。1246。230。1246。+n=(1+1)+231。+1247。+231。+1247。+L+231。+1247。n232。2248。232。3248。232。n248。=2+32+43+L+12n+1n13n180。1nn2180。32180。43180。L180。n+1n=n180。nn+ 1+[910]++L+n(nn+11).在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函數、恒等式、復數等，可以達到簡捷、明快、 已知：x2+y2163。1，a2+b2163。2，求證：b(x2y2)+2axy163。 依題設，構造復數z1=x+yi，z2=a+bi，則z1163。1，z2163。2 所以 z12180。z2=(x+yi)2(a+bi)=[a(x2y2)2bxy]+[b(x2y2)+2axy]ib(xy)+2axy=Im(z1180。z2)163。z12222180。z2163。2故 b(x2y2)+2axy163。[11]：設a1163。a2163。L163。an，b1163。b2163。L163。bn，則有a1bn+a2bn1+L+anb1163。a1bt1+a2bt2+L+anbtn163。a1b1+a2b2+L+anbn，其中t1,t2,L,tn是1,2,L,=a2=L=an或b1=b2=L=：反序和163。亂序和163。 求證：a2+b2+c2+d2179。ab+bc+cd+ 因為a,b,c,d206。R有序，所以根據排序不等式同序和最大，即 a2+b2+c2+d2179。ab+bc+cd+[12]中原工學院借助幾何圖形， 已知：a,b,m206。R+，且ab，求證：a+mb+m()以b為斜邊，使BD=m，延長AC至E，使ED^AD，過C作AD的平行線交DE于F，則DABC∽DADE，令CE=n，所以 a=AB=a+m又CECF，即nm，所以bACb+na+mab+ma+mb+n=中原工學院 利用函數證明不等式通過變換，把某些問題歸納為求函數的極值， 設x206。R，求證：4163。cos2x+3sinx163。2證明 f(x)=cos2x+3sinx=12sin當sinx=+3sinx=2231。sinx247。+24248。8232。時，f(x)max=2。481當sinx=1時，f(x)min= 4163。cos2x+3sinx163。[1314]當x屬于某區(qū)間，有f162。(x)179。0，則f(x)單調上升；若f162。(x)163。0，則f(x)，若證f(x)163。g(x)，只須證f(a)=g(a)及f162。(x)163。g162。(x),(x206。(a,b)) 19 證明不等式ex1+x，x185。 設f(x)=ex1x,則f162。(x)=0時，f162。(x)0,f嚴格遞增；當x0,f162。(x)0,=0處連續(xù)，則當x185。0時，f(x)f(0)=0，從而證得ex1+x,x185。0利用中值定理：f(x)是在區(qū)間[a,b]上有定義的連續(xù)函數，且可導，則存在x，axb，滿足f(b)f(a)=f162。(x)(ba)來證明某些不等式