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數學分析第四章函數的連續性-預覽頁

2026-06-30 20:21 上一頁面

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【正文】，并能清楚地認識到函數在一區間上連續與在這一區間上一致連續這二者之間的聯系與原則區別。局部有界性： 3. 註 Th 4 可簡寫為（即在條件滿足的前提下，極限運算與函數運算可以交換順序。例3 求極限的連續性見后 .最值性: 先定義最值. Th 6 ( 介值性 ) 關于函數等的連續性 ( [1]P99 E5,6.) 考查函數在區間作限制就有對 ,取這里與有關,有時特記為.本例中不存在可在區間上通用的 , 即不存在最小的( 正數 ) .例7 定義 ( 一致連續 ) 順便介紹一致連續與連續的關系. 證 Th8 (Cantor)若函數在閉區間上連續,在上一致連續.教學要求：深刻理解初等函數在其定義的區間上都是連續的，并能應用連續性概念以及連續函數的性質加以證明，能熟練運用這一結論求初等函數的極限。回顧基本初等函數中, 已證明了連續性的幾個函數. Th1 一切基本初等函數都在其定義域上連續. 利用函數的連續性求極限: 一、若不妨設設 , 應用零點定理即得所證. 例5 設函數和在區間I上連續, 且在I的有理點 ,有證明: 在I上 .主要講以下幾個問題：１．什么是“函數的連續性”？２． “間斷”或“不連續”有哪些情形？３．連續函數有哪些性質？４．初等函數的連續性有何特點？167。教學難點：函數連續性概念。而所謂“不連續函數”從幾何上表現為它的圖象在某些點處“斷開”了。從圖２看出，在處，函數值有一個跳躍，當自變量從左側的近傍變到右側的近旁時，對應的函數值發生了顯著的變化。根據這一分析，引入下面的定義：一　函數在一點的連續性１．函數在點連續的定義定義１（在點連續）設函數在某內有定義，若，則稱在點連續。例３．討論函數在點x=0處連續性。（區別于“增加”）。如用三種定義，可以證明以下命題：例４．證明函數在點連續，其中為Dirichlet函數。所以換為：.３）從對極限的要求看：“在點連續”不僅要求“在點有極限”，而且；而在討論時，不要求它等于，甚至于可以不存在。② 在點連續的等價刻劃　函數在點連續在點既是右連續，又是左連續。對于閉區間或半開半閉區間的端點，函數在這些點上連續是指左連續或右連續。命題：初等函數在其定義區間上為連續函數。據此，對函數的間斷點作如下分類：２．間斷點分類１）可去間斷點　若，而在點無定義，或有定義但，則稱為的可去間斷點。則是的連續點。再如是的跳躍間斷點。167。教學重點：閉區間上連續函數的性質；教學難點：一致連續的概念。性質２（局部保號性）若在連續，且則對任何正數，存在某有。問題　兩個不連續函數或者一個連續而另一個不連續的函數的和、積、商是否仍舊連續？性質４（復合函數的連續性）若在點連續，記，函數在連續，則復合函數在點連續。故可用來求一些函數的極限。（２）基本初等函數：常量函數；冪函數；指數函數；對數函數；三角函數；反三角函數。例４．求。從幾何上看，這些性質都是十分明顯的。例如。１．性質性質１（最大、最小值定理）若在閉區間上連續，則在上有最大值與最小值。若是介于和之間的任何實數，則至少存在一點，使得。幾何意義　若點和分別在軸兩側，則連接Ａ、Ｂ的曲線與軸至少有一個交點。證明：存在，使得。即對時，就有。而當離原點較遠時，取大一些。若對任給的，存在一個，使得對任何，只要，就有，則稱函數在區間Ｉ上一致連續。也即在每一點中可有適合定義中的，這是局部性質。４．一致連續的例子例１．證明　在上一致連續。例４．設區間的右端點為，區間的左端點也為（可分別為有限或無限區間）。教學要求：深刻理解初等函數在其定義的區間上都是連續的，并能應用連續性概念以及連續函數的性質加以證明，能熟練運用這一結論求初等函數的極限。 20

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