微分方程及其應(yīng)用ppt課件-免費(fèi)閱讀

　　

【正文】 第三步 根據(jù)特征根的不同情況 ， 寫出微分方程的通解 ． 具體如下： 21, rr21 rr ?xrxr eCeCy 21 21 ??rrr ?? 21 ? ? rxexCCy 21 ???? ir ??2,1 通解形式 ? ?xCxCey x ??? s i nco s 21 ??特征方程的根 1 2 0 .y y y?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解解 特征方程為 2 20rr? ? ?特征根 121 , 2rr? ? ?因此，方程的通解為 212 .xxy C e C e???2 4 0 .y y y?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解解 特征方程為 24 4 1 0rr? ? ?特征根 1212rr? ? ?因此，方程的通解為 ? ? 1212xy C C x e ???3 4 8 0y y y?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解 .解 特征方程為 2 4 8 0rr? ? ?特征根為 122 2 2 2r i r i? ? ? ?于是方程的通解為 212c o s 2 s i n 2xy e C x C x?? 004 12 9 0 1 , 1xxy y y y y???? ? ?? ? ? ? ?例 求 方 程 滿 足 初 始 條 件的 特 解 .解 特征方程為 24 1 2 9 0rr? ? ?特征根 1232rr??因此方程的通解為 ? ? 3212xy C C x e??0 1xy ? ? 1由 條 件 得 ,C =1,0 1,xy ?? ? 21由 條 件 得 , C = 2故所求特解為 3211.2xy x e????????三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解方法 ? ? ( 1 )y p y q y f x?? ?? ? ?設(shè)其中 p,q為常數(shù)， f(x)≠0 它對(duì)應(yīng)的齊次方程為： 0 ( 2 )y p y q y?? ?? ? ?? ? ? ?1. xmf x P x e ?? 型? ? ( 5 )xmy p y q y P x e ??? ?? ? ?其中 λ 為常數(shù)， Pm(x)為 x的 m次多項(xiàng)式，即 ? ? 110mmm m mP x a x a x a??? ? ? ?設(shè)想方程 (5)有形如 ? ? ,xpy Q x e ?? 的 解其中 Q(x)是一 個(gè)待定多項(xiàng)式． ? ? xpy Q x e ??將 代入方程 (5)，整理后得到： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 mQ x p Q x p q Q x p x? ? ??? ?? ? ? ? ? ? (6) ① 當(dāng) λ 2+pλ +q ≠0 時(shí)，設(shè) ? ? ? ?10 1 1mm m m mQ x b x b x b x b Q x? ?? ? ? ? ? ?(7) 其中 b0,b1,… ,bm 為 m+1個(gè)待定系數(shù) 將式 (7)代入式 (6)，比較等式兩邊同次冪的系數(shù)，得到以 b0,b1,… ,bm為未知數(shù)的 m+1個(gè)線性方程的聯(lián)立方程組，從而求出 b0,b1,… ,bm，即確定 Q(x)，于是可得方程 (5)的一個(gè)特解為 ? ? xpy Q x e ??② 當(dāng) λ 2+pλ +q=0且 2λ + p ≠0 時(shí)， (即 λ 為特征方程的單根 ) 那么式 (6)成為 ? ? ? ?2mQ p Q P x??? ?? ? ?由此可見 ， Q’與 Pm(x)同次冪 ， 故應(yīng)設(shè) ? ? ? ?mQ x x Q x?其中 Q m(x)為 m次待定多項(xiàng)式 ． 將 Q m(x)代入式 (6) 確定 Q m(x)的 m+1個(gè)系數(shù) ， 從而得到方程 (5)的一個(gè)特解： ? ? xpmy x Q x e ??③ 當(dāng) λ 2+pλ +q = 0 且 2λ + p =0 時(shí)， (即為特征方程的重根 ) 那么式 (6)成為 ? ?mQ P x?? ?故應(yīng)設(shè) ? ? ? ?2mQ x x Q x?將它代入式 (6)， 確定 Q m(x)的系數(shù) 所以方程 (5)的一個(gè)特解為 ? ?2 xpmy x Q x e ??綜上所述 ， 我們有如下結(jié)論： 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 ? ? xmy p y q y P x e ??? ?? ? ? (5) 具有形如 ? ?kxpmy x Q x e ??的特解，其中 Q m(x)為 m 次多項(xiàng)式， k的確定如下： 012k?????????， 不 是 特 征 根， 是 特 征 單 根， 是 特 征 重 根? ? ? ? ? ?2 . c o s s i nx lnf x e P x x P x x? ???????? 型根據(jù)歐拉公式及前面分析的結(jié)果可以推出下面的結(jié)論（討論過程 從略）： ? ? ? ? ? ?c o s s i nx lnf x e P x x P x x? ????????如 果? ? :y p y q y f x?? ?? ? ?則 微 分 方 程 有 如 下 形 式 的 特 解? ? ? ?c o s s i nkxp m my x e Q x x R x x? ???????? 其中 Q m(x)與 R m(x) 均為 m次多項(xiàng)式 (m = max{l， n})， 其系數(shù) 待定 ， 而 01iki???????? ??， 當(dāng) 不 是 特 征 根， 當(dāng) 是 特 征 根5. yy?? ???例 求 微 分 方 程 的 一 個(gè) 特 解 解 原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 2 0rr??其特征根為 1201rr? ? ?? ? 0 0xf x x e ???? ? 02xpy A x B x e A x B x? ? ? ? ?令2 , 2ppy A x B y A??? ? ?則代入原方程得 ? ?22A A x B x? ? ?即 22A x A B x? ? ?比較系數(shù)得： 1212201A AAB B?? ?? ??????? ? ???所以 212py x x??36 6 9 .xy y y e?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解解 對(duì)應(yīng)的特征方程為 2 6 9 0rr? ? ?特征根 12 3rr?? （ 重 根 ）所以，齊次方程的通解為 ? ?312 xcy C C x e??? ? 3 xf x e?又 中 , λ =3 恰是二重特征根 23 xpy A x e?令? ?3 2 3 3 22 3 2 3x x xpy A x e A x e e A x A x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?3 2 3 3 23 2 3 2 6 2 1 2 9x x xpy e A x A x A A x e e A A x A x? ? ? ? ? ? ? ?代入原方程后化簡(jiǎn)得： 1212AA? ? ?于是 2312xpy x e?所以，原方程的通解為 ? ? 3 2 312 12xxcpy y y C C x e x e? ? ? ? ?? ? 22 5 3 .xy y x e?? ?? ? ?例 7 求 微 分 方 程 的 通 解解 對(duì)應(yīng)的特征方程為 2 20rr??特征根 120 , 2rr??對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 0 2 21 2 1 2x x xcy C e C e C C e? ? ? ??