微分方程及其應用ppt課件(已改無錯字)

　　

【正文】 r1 , r2 稱為特征根． 由于特征方程 (4)的兩個根 2422,1qppr ???? 只能有三種 不同情形，相應地，齊次方程 (2)的通解也有三種不同的形式． ① 當 Δ = p2 4q 0時，特征方程 (4)有兩個不相等的實根 r1≠ r2 ． 由上面的討論知道 1212r x r xy e y e??與是方程 (1)的兩個解． 又 y1與 y2線性無關，因此方程 (2)的通解為 : 1212r x r xy C e C e??② 當 Δ = p2 4q = 0時，特征方程 (4)有兩個相等實根 r = r1 = r2 ． 我們只能得到方程 (1)的一個解 rxey ?1? ? ? ? ? ?2 2 1, rxy u x y u x y u x e? ? ?設 即對 y2求導得 ? ?? ?222 2r x r x r xrxy u e u r e u r u ey u r u r u e? ? ?? ? ? ??? ?? ?? ? ?222,yyy? ??將 代入方程 (2)， 得 ? ? ? ?? ? 02 2 ?????????? quruupururue rx0rxe ?? ? ? ?220u r p u r p r q u?? ?? ? ? ? ? ? ?又 r是特征方程的二重根， 22 0 , 0r p r p r q? ? ? ? ?所 以0???u因為 u(x)不是常數，不妨取 u(x)= x， 這樣得到方程（ 2）的 另一個解 2 ,rxy xe? 從而方程（ 2）的通解為 ? ?1 2 1 2r x r x r xy C e C x e C C x e? ? ? ?③ 如果 Δ = p2 4q 0，即特征方程 (4)有一對共軛復根 ? ?12 ,0r i r i? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?12 ( 2 ) .i x i xy e y e? ? ? ?????則 和 是 方 程 的 兩 個 復 數 形 式 的 解為了求出方程 (2)的兩個實數形式的解，利用歐拉公式 c o s s i niei? ????將 y1與 y2分別改寫為 ? ?? ?12c o s s i nc o s s i nx i x xx i x xy e e e x i xy e e e x i x? ? ?? ? ??????? ? ?? ? ?由定理 1知， ? ?? ?1211221c os21sin2xxy y y e xy y y e xi????? ? ?? ? ?仍是方程 (2)的解，這時 21s i n t a nc osxxy ex xexy??? ????不是常數， 1212 ( 2 ) .y C y C y??所 以 是 方 程 的 通 解? ?1 2 1 2c o s s in c o s s inx x xy C e x C e x e C x C x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?即 綜上，求二階常系數齊次線性微分方程通解的步驟如下： 第一步 寫出方程的特征方程 2 0。r p r q? ? ?第二步 求出特征方程的兩個根 r1及 r2 。 第三步 根據特征根的不同情況 ， 寫出微分方程的通解 ． 具體如下： 21, rr21 rr ?xrxr eCeCy 21 21 ??rrr ?? 21 ? ? rxexCCy 21 ???? ir ??2,1 通解形式 ? ?xCxCey x ??? s i nco s 21 ??特征方程的根 1 2 0 .y y y?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解解 特征方程為 2 20rr? ? ?特征根 121 , 2rr? ? ?因此，方程的通解為 212 .xxy C e C e???2 4 0 .y y y?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解解 特征方程為 24 4 1 0rr? ? ?特征根 1212rr? ? ?因此，方程的通解為 ? ? 1212xy C C x e ???3 4 8 0y y y?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解 .解 特征方程為 2 4 8 0rr? ? ?特征根為 122 2 2 2r i r i? ? ? ?于是方程的通解為 212c o s 2 s i n 2xy e C x C x?? 004 12 9 0 1 , 1xxy y y y y???? ? ?? ? ? ? ?例 求 方 程 滿 足 初 始 條 件的 特 解 .解 特征方程為 24 1 2 9 0rr? ? ?特征根 1232rr??因此方程的通解為 ? ? 3212xy C C x e??0 1xy ? ? 1由 條 件 得 ,C =1,0 1,xy ?? ? 21由 條 件 得 , C = 2故所求特解為 3211.2xy x e????????三、二階常系數非齊次線性微分方程的求解方法 ? ? ( 1 )y p y q y f x?? ?? ? ?設其中 p,q為常數， f(x)≠0 它對應的齊次方程為： 0 ( 2 )y p y q y?? ?? ? ?? ? ? ?1. xmf x P x e ?? 型? ? ( 5 )xmy p y q y P x e ??? ?? ? ?其中 λ 為常數， Pm(x)為 x的 m次多項式，即 ? ? 110mmm m mP x a x a x a??? ? ? ?設想方程 (5)有形如 ? ? ,xpy Q x e ?? 的 解其中 Q(x)是一 個待定多項式． ? ? xpy Q x e ??將 代入方程 (5)，整理后得到： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 mQ x p Q x p q Q x p x? ? ??? ?? ? ? ? ? ? (6) ① 當 λ 2+pλ +q ≠0 時，設 ? ? ? ?10 1 1mm m m mQ x b x b x b x b Q x? ?? ? ? ? ? ?(7) 其中 b0,b1,… ,bm 為 m+1個待定系數 將式 (7)代入式 (6)，比較等式兩邊同次冪的系數，得到以 b0,b1,… ,bm為未知數的 m+1個線性方程的聯立方程組，從而求出 b0,b1,… ,bm，即確定 Q(x)，于是可得方程 (5)的一個特解為 ? ? xpy Q x e ??② 當 λ 2+pλ +q=0且 2λ + p ≠0 時， (即 λ 為特征方程的單根 ) 那么式 (6)成為 ? ? ? ?2mQ p Q P x??? ?? ? ?由此可見 ， Q’與 Pm(x)同次冪 ， 故應設 ? ? ? ?mQ x x Q x?其中 Q m(x)為 m次待定多項式 ． 將 Q m(x)代入式 (6) 確定 Q m(x)的 m+1個系數 ， 從而得到方程 (5)的一個特解： ? ? xpmy x Q x e ??③ 當 λ 2+pλ +q = 0 且 2λ + p =0 時， (即為特征方程的重根 ) 那么式 (6)成為 ? ?mQ P x?? ?故應設 ? ? ? ?2mQ x x Q x?將它代入式 (6)，