微分方程及其應用ppt課件(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ??? ? ? ?????即例 6 如圖，位于坐標原點的我艦向位于 x軸上 A(1,0)點處的敵艦發 射制導魚雷，魚雷始終對準敵艦．設敵艦以常速 v0沿平行于 y 軸的直線行駛，又設魚雷的速率為 2v0，求魚雷的航行曲線方程． 解 設魚雷的航行曲線方程為 y = y(x)， 在時刻 ， 魚雷的坐標為 P(x,y)， 敵艦 的坐標為 Q(1, v0t)． 因為魚雷始終對準敵艦，所以 01v t yyx?? ??? ?0 1v t y x y?? ? ?即2 00 12xO P y d x v t????又 的 長 度 為令 y’= p，方程可化為 ? ?21112x p p?? ? ?? ? ? ?0 0 , 0 0yy ???這是不顯含 y的可降階微分方程 ,根據題意，初始條件為 分離變量可解得 ? ? 2112 11 ????? xCpp從上面兩式消去 v0t得： ? ? 20211 2 xy x y y d x??? ? ? ??兩邊關于 x求導得 : ? ? 2111 2y x y y y?? ? ? ?? ? ? ? ?即 ? ? 2111 2x y y?? ?? ? ?? ? 2112 11 ??????? xCyy即 ? ? 10 0 1yC? ??將 代 入 ， 得 ，? ? 12 211y y x ???? ? ? ?所以 ? ? 12 221 111 y y xyy ??? ? ? ? ?????而 ? ? ? ?1122111122y x x?? ? ? ? ?所以 ? ? ? ?1322 2111 3y x x C? ? ? ? ? ?積分得 以 y(0)= 0代入，得 223C ? ，所以魚雷的航行曲線方程為： ? ? ? ?13221211 33y x x? ? ? ? ? ?? ?3. y f y y?? ?? ， 型特點： 方程右端不含變量 x ? ?y P y? ?解 法 ： 令d P d P d y d PyPd x d y d x d y?? ? ? ? ?則從而將原方程化為一階微分方程： ? ?dPP f y Pdy ? ，24 0 .y y y?? ???例 求 方 程 的 通 解? ?y P y? ?解 令 dPyP dy?? ?則代入原方程得 2 0dPy P Pdy ??當 y≠0 ， P≠0 時，分離變量得： dP dyPy?兩端積分得： 1ln ln lnP y C?? 12 Cxy C e??當 P ＝ 0時，則 y = C（ C為任意常數）， 顯然，它已含在解 121 0Cxy C e C??中 （ ）所以原方程的通解為： 12 Cxy C e? 二階常系數線性微分方程 ? ? (1)y p y q y f x?? ?? ? ? 定義 形如 的方程 ， 稱為二階常系數線性微分方程 ． 其中 p,q為常數 . 0 ( 2 )y p y q y?? ?? ? ?注 ① 當 f(x)≠0時 ， 方程 (1)稱為二階常系數非齊次線性微分方程； ② 當 f(x)=0時，即 方程 (2)稱為二階常系數齊次線性微分方程． 二階常系數線性微分方程解的性質 1． 齊次線性方程解的結構 定義：設 y1 = y1(x)與 y2 = y2(x)是定義在區間 (a,b)內的函數 ， 如果 存在兩個不全為零的常數 k1 , k2， 使得對于 (a,b) 內的任一 x恒有 k1 y1 + k2 y2 = 0成立，則稱 y1與 y2在 (a,b)內線性相關， 否則稱為線性無關． 由定義知： y1與 y2線性相關的充分必要條件是 ? ?? ? ? ?21,yx k x a byx ??21yy若不恒為常數，則 y1與 y2線性無關． 22xx x xxee e ee????????如 與 線 性 無 關 ；12.22xxxxeeee???????與 線 性 相 關定理 1 （齊次線性方程解的疊加原理） 若 y1與 y2是齊次線性方程 (2)的兩個解 ， 則 y = C1 y1+C2 y2也是 (2)的解 ， 且當與線性無關時 ， y = C1 y1+C2 y2就是式 (2)的通解 ． 證 將 y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程 (2)的左端，得 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 21 1 1 1 2 2 2 2120 0 0C y C y p C y C y q C y C yC y p y q y C y p y q yCC?? ?? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ?所以 y = C1 y1+C2 y2是方程 (2)的解 , 又 y1 與 y2線性無關 ， C1和 C2是兩個獨立的任意常數 , 即 y = C1 y1+C2 y2中所含獨立的任意常數的個數與方程 (2)的階數 相同 , 所以 它又是方程 (2)的通解 . 2． 非齊次線性方程解的結構 定理 2 （ 非齊次線性方程解的結構 ） 若 yp為非齊次線性方程 (1)的某個特解 ， yc為方程 (1)所對應 的齊次線性方程 (2)的通解 ， 則 y = yp+ yc為非齊次線性方程 (1) 之通解 ． 證 將 y = yp+ yc代入方程 (1)的左端有 所以 yp+ yc 確為方程 (1)的解 ． 又 yc 中含有兩個獨立的任意常數 ， 所以 y = yp+ yc 中也含有兩獨立的任意常數 ， 故 y = yp+ yc 為方程 (1)的通解． ? ? (1)y p y q y f x?? ?? ? ?設? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0p c p c p cp p p c c cy y p y y q y yy py qy y py qyf x f x??? ? ? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ?1 ,y p y q y f x?? ?? ? ? 的 解定理 3 若 y1為方程 y2為方程 ? ?2 ,y p y q y f x?? ?? ? ? 的 解則 y = y1 + y2 為方程 ? ? ? ?12 ( 3 )y p y q y f x f x?? ?? ? ? ?的解 . 證： 將 y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2y y p y y q y y??? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 2 2 2y p y q y y p y q y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?12f x f x? ? ? 右 端 二階常系數齊次線性微分方程的求解方法 0 ( 2 )y p y q y?? ?? ? ?設其中 p, q 為常數 . 令方程 (2)的解為 rxye?（ r為待定常數） 代入方程 (2)得 2 0r x r x r xr e p r e q e? ? ?0rxe ? ? 02 ??? qprr (4) 由此可見，只要 r滿足方程 (4)，函數 rxye?就是方程 (2)的解． 定義 稱方程 (4)為微分方程 (2)的特征方程，方程 (4)的兩個根