[所有分類]第7章信號與系統控制的復頻域分析(存儲版)

　　

【正文】 () () () () ② ③ ④ ⑤ 3） 單邊 Z變換的性質 ? ?)|z| ( )()()( 10????? ????mkkmm zkfzFzmkf)|z|( )()()( 10? ???? ????? mkkm zmkfzFzmkf ?)|z| ( )()()( ?? ???? ? zFzmkmkf m① 位移 (時移 )性質 ：若 f (k) F (z)， | z | () () () （主要討論單邊 Z變換的特殊性質） ， m為正整數，則有 )|z| ( )()( 111 ??? zFkf )||( )()( 222 ??? z zFkf)(1 kf )(2 kf )),(m a x|z| ( )()()()( 212121 ?????? zFzFkfkf② 卷積性質： 若 ， ，且 、 為因果序列 ， 則 () )||()()( ??? zzFkf)),1(m a x|z| ( )(1)(0??????kmzFz zmf③ 部分和性質： 若 ，則有 () ??|| z??|| z)3||()3()2()( 32 ???? zzz zzF4）單邊 Z逆變換的計算 與雙邊 Z逆變換的計算方法類似，單邊 Z變換的計算方法也有 冪級數展開法、部分分式展開法、反演積分法、查表法等。 單邊 Z 變換的應用更加廣泛。 需要指出：因為雙邊 Z變換 是連同收斂域一起與原函數一一對應的，所以求雙邊 Z逆變換時，要特別注意收斂域的問題。 的雙邊 )(kf?? ??????? ??0)/()()(kkkkk zazkazF ??? ??????? ?0)/(|)(|kkkk zazkf|||| az ? )(zFazzzazFkk??? ??? 0)/()( )||||( az ?||a解 ：由題， 的雙邊 Z 變換為 有 時 收斂，即 的圓外陰影部分。 4 044)(31ps ??)(11ps ??)(21ps ??o60?? 阻尼線1s2s3s1p2p3p?[ S]?j圖 例 根軌跡 r c c o sa r c c o s ?????解：利用 在圖 跡相交， 阻尼線與根軌 2,1s1s3,2,1p得到交點 ； 連接 與三個 的向量連線 ， 并測量各 角；若滿足 開環極點 向量的相 o312111 1 8 0)()()( ????????? pspsps1s 3,2,1p1))()((312111???? ? ｜｜ pspsps K |||||| 312111 pspspsK ???????|| 11 ?? ps || 21 ?? ps || 31 ?? ps ?????K2,1s 3s??o312111 1 8 0)()()( ????????? pspsps ??1s232 )44)(44( *lim)()(lim 00 ???????? ?? jsjss sKsHsGK ssV1s n?? 21 ?? ?n ?? n? n??,%? st則可進一步測量 與三個開環極點 的距離，代入模方程，則有 即 由測量值 ， ， 可得 為主導極點，負實極點 系統可近似為二階系統；而且近似二階系統的阻尼比 ，則要沿著期望的 而且，根據 K* = 時 的測量值 、 及 ，可確定近似二階系統的 值，由 即可求出對應的超調量 與調節時間 。 圖 構造新系統前、后的系統結構圖 由 圖 ，原系統并沒有 開環 零點與 閉環零點，因此， 構造新系統 后產生的兩個開環零點 對照 圖 新系統 的 參變量根軌跡，可知當參變量 T 0 且 為有限值時， 系統是穩定的； 當根軌跡與最佳阻尼線相交時，系統可等效為二階，具有較好的動態性能； 而當 T 增大到一定值后，由于 原系統沒有 閉環零點，因此無法產生偶極子， 所以靠近 （即 原點 ）的閉環極點將成為 主導極點 ， 系統 動態性能將很差 。 ? 2）參數變化對系統性能影響的定性分析 ? 系統的根軌跡繪制完成后，就可以通過根軌跡定性分析參數變化對系統性能的影響 。 ? 離虛軸最近的閉環極點（復數極點或實數極點）能夠對系統的動態性能產生主導作用，故成為系統的主導極點；而離虛軸較遠的其它閉環極點，對系統的動態性能影響不大，往往允許忽略，這些次要極點離虛軸的距離一般比主導極點離虛軸的距離大 5 倍以上。 ? 2） 多回路系統的參數根軌跡 ? 繪制多回路系統的參數根軌跡時，可以先求出多回路系統的總開環傳遞函數，再根據特征方程得到式（ ）的形式，最后繪制出多回路系統的根軌跡；也可以由 內而外逐層完成。 ? ? 例 若單位反饋系統的開環傳遞函數 ，試繪制其閉環根軌跡。 ? ③ 當 K ，閉環特征根為負實部共軛復根，系統呈欠阻尼狀態，階躍響應為衰減振蕩過程，而且超調量隨 K 值的增大而增大，但調節時間的變化不明顯。 ② 由題，系統函數 為零狀態下求得，電路的 S 域模型非常 簡單，本例只需 “ 小寫換大寫 、 t 換 s 、 ssss esYeesssessGsFsY 212 1)(11)2(21)2(21)1(1)()()(???? ?????????????ssessssss esY ??????????? )211(41)211(41)2(21)(1)]1()1([41)]()([41)( )1(221 ?????? ??? tettetty tt ??????? ????0 211)2(n sent?? ????????????????????????????????????0)12(2)2(20)1(2201)12(]1[)2(]1[41)2()]1()1()()([41)2()()(nntntnttnntententtettetnttyty????????③ 由 ①、② 有 其中 有 利用 ，及時域卷積性質，可得 閉環系統的根軌跡 ? 所謂根軌跡法，是一種確定閉環特征根的圖解法；根軌跡法以開環零、極點為出發點，探求系統某些參數（如開環增益 K）變化時，閉環極點在 S平面上變化的根軌跡。 解： ① 由題 ， 輸入 ， 有 ，且 ， 22 )1(1121/1/121)(????????? sssssssG11)(??? ste t?2)1(1)11()()(????????sstett ?2)1(1)(???stett?)()( tettg t??? 電路的 S域模型如圖 a. 所示。 )()()( tgtftyf??)()()( sGsFsYf?1)(tyf圖 用拉氏變換法求 設 階 LTI連續系統的微分方程為 （ ） 式 （ ）中， 為 y(t) 的 i 次導數， ； 為 f(t) 的 j 次導數， ， 且 a =1， m≤n 為實常數，則 n 階系統的系統函數為 （ ） 式（ ）給出了系統微分方程與系統函數之間的對應關系。 在實際問題中，單邊拉氏逆變換的求解方法主要有查表法，部分分式展開法及反演積分法（留數定理）等三種，其中部分分式展開法是最常用的方法，是學習的重點。 )()( sFtf ? )]R e [( 0??s)0()()()1( ??? fsFstf )]R e [( 0??s)0()0()()( )1(2)2( ?? ??? ffssFstf )]R e [( 0??????????? 10)(1)( )0()()( niiinnn fssFstf )]R e [( 0??s)(tf 0)0()( ??nf ),2,1,0( ??n)()()( sFstf nn ? )]R e [,21( 0??? sn ?，⑹ 時域微分性質 若 ，則有 時域微分性質中包含了信號的初始狀態，因此在求解系統的微分方程時，不僅能求解零狀態響應，而且還能求解零輸入響應，所以單邊拉氏變換的時域微分性質非常重要。即： F1(s)的收斂域為整個復平面， 或 σ=Re[s] ∞ seesesdtedtedtedtetdtetdtettsFsstststststststs?????????????????????????????????????????????????????1)1(1|1)()(])()([)(0001? 3） 單邊拉普拉斯變換 信號的單邊拉氏變換及其逆變換 (或反變換 )分別為 （ ） （ ） 式（ ）稱為的單邊拉氏變換 。 ? 復頻域分析法則是能夠有效克服頻域分析法局限性：不僅能夠避免出現信號分析的死區，全面解決信號的復頻域分析問題；而且能夠求解系統的零狀態響應與零輸入響應問題，即可以求解系統的完全響應，使信號與系統的分析更為完整、簡潔。只要選擇了合適的 σ，就能滿足絕對可積條件，即： ?????? ? dtetf t?|)(| 此時， f(t) 的雙邊拉氏變換 F(s)就一定存在。 tdetfsF ts? ? ???0)()(?????????????jjts tsdesFjttf ???0)(2100)(? 4) 常用信號的單邊拉普拉斯變換對 ⑴ 沖激信號 , 即 : ， ⑵ 階躍信號 ， 即： ， ? ? ?? ?? 0 1)()( tdetsF ts? ???][Re s1)( ?t? ???][Re sstdetdetsFtsts 1)()(00 ??? ??? ?? ?? ? 0]R e [ ?sst1)( ?? 0]Re[ ?s)(t?)(t?⑶ 斜坡信號 即： ⑷ 單邊指數信號 即： 0]R e [11|)()(20000?????