[所有分類]第7章信號與系統控制的復頻域分析(留存版)

　　

【正文】 稱為 f (k) 的象函數， 則為 的原函數。 ② 無限長因果序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z||z0|(z0為復數、虛數或實數 )，即收斂域為半徑為 z0的圓外區域。 ? ⑸ 根軌跡分析的試探法 ? 根軌跡分析的試探法是一種常用的方法 ， 一般分兩步完成 。 ? 可以認為，偶極子中閉環極點對系統性能的影響，完全被偶極子中的閉環零點抵消了。 圖 例 解：由題 可知此系統有 3 條根軌跡，實軸上的根軌跡為 [ 1 ， 0 ] 與（ ∞ ， 2 ] 區段，標出根軌跡方向后如圖 所示； 在 P344例 ，已確定了此根軌跡的漸近線； 在 P346例 ，則確定了 此 根軌跡與虛軸的交點； 下面還需確定分離點及分離角。 ? 圖 ，系統開環傳遞函數為 ，式中 K為開環增益，為兩個開環極點，沒有開環零點。 ? ?? ??nimjjjii tfbtya0 0)()( )()()()( ty i ),1,0( nia i ??),1,0( mjb j ??)()(/)()()(00 sFsYsasbsAsBsG fniiimjjj ??? ????)0()( ?iy)()( tf j)1,1,0( ?? ni ?00 ?t例 若 LTI連續系統的微分方程為 ，而且 ， 。 )()( 11 sFtf ? )]Re[( 1??s )()( 22 sFtf ? )]R e [( 2??s)()()()( 2121 sFsFtftf ?? )),m a x (]R e [( 21 ???s⑸ 時域卷積 若 ， 且 ， 則 )(tf )()( sFtf ? )]R e [( 0??s? ? ??? t s sFdftf 0)1( )()()( ?? )),0m ax (]R e [( 0??s?nnssFtf )()()( ?? .,2,1( ??n )),0m ax (]R e [ 0??s)()( tf n? )(tf ?0 t n)(tf? ?? ??? ??? t sfs sFdftf )0()()()( )1()1( ?? )),0m a x (]R e[( 0??s???????? ?? nmmmnnn fsssFtf1)(1)( )0(1)()( )),0m a x (]R e[( 0??s⑺ 時域積分性質 對于因果信號 ，若 表示對 從 到 的 而對于非因果信號 則有 時域微分性質和時域積分性質，主要應用于復頻域分析中 線性連續系統的微 ﹑ 積分運算以及系統微分方程的求解。只要選擇了合適的 σ，就能滿足絕對可積條件，即： ?????? ? dtetf t?|)(| 此時， f(t) 的雙邊拉氏變換 F(s)就一定存在。即： F1(s)的收斂域為整個復平面， 或 σ=Re[s] ∞ seesesdtedtedtedtetdtetdtettsFsstststststststs?????????????????????????????????????????????????????1)1(1|1)()(])()([)(0001? 3） 單邊拉普拉斯變換 信號的單邊拉氏變換及其逆變換 (或反變換 )分別為 （ ） （ ） 式（ ）稱為的單邊拉氏變換 。 在實際問題中，單邊拉氏逆變換的求解方法主要有查表法，部分分式展開法及反演積分法（留數定理）等三種，其中部分分式展開法是最常用的方法，是學習的重點。 解： ① 由題 ， 輸入 ， 有 ，且 ， 22 )1(1121/1/121)(????????? sssssssG11)(??? ste t?2)1(1)11()()(????????sstett ?2)1(1)(???stett?)()( tettg t??? 電路的 S域模型如圖 a. 所示。 ? ③ 當 K ，閉環特征根為負實部共軛復根，系統呈欠阻尼狀態，階躍響應為衰減振蕩過程，而且超調量隨 K 值的增大而增大，但調節時間的變化不明顯。 ? 2） 多回路系統的參數根軌跡 ? 繪制多回路系統的參數根軌跡時，可以先求出多回路系統的總開環傳遞函數，再根據特征方程得到式（ ）的形式，最后繪制出多回路系統的根軌跡；也可以由 內而外逐層完成。 ? 2）參數變化對系統性能影響的定性分析 ? 系統的根軌跡繪制完成后，就可以通過根軌跡定性分析參數變化對系統性能的影響 。 4 044)(31ps ??)(11ps ??)(21ps ??o60?? 阻尼線1s2s3s1p2p3p?[ S]?j圖 例 根軌跡 r c c o sa r c c o s ?????解：利用 在圖 跡相交， 阻尼線與根軌 2,1s1s3,2,1p得到交點 ； 連接 與三個 的向量連線 ， 并測量各 角；若滿足 開環極點 向量的相 o312111 1 8 0)()()( ????????? pspsps1s 3,2,1p1))()((312111???? ? ｜｜ pspsps K |||||| 312111 pspspsK ???????|| 11 ?? ps || 21 ?? ps || 31 ?? ps ?????K2,1s 3s??o312111 1 8 0)()()( ????????? pspsps ??1s232 )44)(44( *lim)()(lim 00 ???????? ?? jsjss sKsHsGK ssV1s n?? 21 ?? ?n ?? n? n??,%? st則可進一步測量 與三個開環極點 的距離，代入模方程，則有 即 由測量值 ， ， 可得 為主導極點，負實極點 系統可近似為二階系統；而且近似二階系統的阻尼比 ，則要沿著期望的 而且，根據 K* = 時 的測量值 、 及 ，可確定近似二階系統的 值，由 即可求出對應的超調量 與調節時間 。 需要指出：因為雙邊 Z變換 是連同收斂域一起與原函數一一對應的，所以求雙邊 Z逆變換時，要特別注意收斂域的問題。 1)()()( ??? zFkkf ?)1||( 1)()()()(0?????? ???? zzzzkzFkkfkk??)|a| |z| ( )()( )()(0?????? ????azzzkazFkakfkkkk ??)1||( )()()()(0?????? ?????? ? zezzzkezFkekfjkkkjkj??? ??)|a||z| ( )()()()1()2)(1(!1)( 1 ????????? ?? mmk az zzFkamkkkkmkf ??2）常用序列的單邊 Z變換 ① () () () () () ② ③ ④ ⑤ 3） 單邊 Z變換的性質 ? ?)|z| ( )()()( 10????? ????mkkmm zkfzFzmkf)|z|( )()()( 10? ???? ????? mkkm zmkfzFzmkf ?)|z| ( )()()( ?? ???? ? zFzmkmkf m① 位移 (時移 )性質 ：若 f (k) F (z)， | z | () () () （主要討論單邊 Z變換的特殊性質） ， m為正整數，則有 )|z| ( )()( 111 ??? zFkf )||( )()( 222 ??? z zFkf)(1 kf )(2 kf )),(m a x|z| ( )()()()( 212121 ?????? zFzFkfkf② 卷積性質： 若 ， ，且 、 為因果序列 ， 則 () )||()()( ??? zzFkf)),1(m a x|z| ( )(1)(0??????kmzFz zmf③ 部分和性質： 若 ，則有 () ??|| z??|| z)3||()3()2()( 32 ???? zzz zzF4）單邊 Z逆變換的計算 與雙邊 Z逆變換的計算方法類似，單邊 Z變換的計算方法也有 冪級數展開法、部分分式展開法、反演積分法、查表法等。 1）單邊 Z變換的定義和收斂域 對于離散信號 ，冪級數 的單邊 Z變換，記為 而積分 則為 的單邊 Z逆變換，記為 。 ⑶ 雙邊 Z變換收斂域的特點 ① 有限長雙邊序列的雙邊 Z變換的收斂域一般為 0|z|∞； 有限長因果序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z|0； 有限長反因果序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z|∞； 單位序列 δ(k)的雙邊 Z變換的收斂域為整個 [Z] 復平面。 圖 a. 中， T 正是慣性時間常數，如果太大，系統動態性能肯定很差。 ? 偶極子：一對挨得很近的閉環零、極點即為偶極子。 )2)(1(*)(??? sssKsG0112??j[S]p3p2p11 .4 1 1K = 6*K = 6*1d = 0. 4 2d?d??,01 ?p ,12 ??p 23 ??p??????????? dddd1)2(1)1(101021111 ????? ddd ??d ??d2d ??? dd)1,0(22 )12()12( ???????? kklkd ????例 若單反饋系統的開環 ， 試概略繪制其閉環根軌跡 。 ? 1. 根軌跡的概念與根軌跡方程 ? 1）根軌跡 ? 當系統某個參數（如開環增益 K）由零到無窮大變化時，閉環特征根在 S平面上移動的軌跡，即為系統的閉環根軌跡，簡稱根軌跡。 由于 LTI連續系統響應的 n個初始狀態 是在初始時刻 之前的系統狀態 ，因而容易確定，這樣就避開了時域分析中復雜的初值問題。 此時 ， 時域 )()( sFtf ? )]R e [( 0??s )(1)(asFaatf ?)]R e[( 0?as ? a⑷ 尺度變換性質 若 , 則 ， 式中 為大于 0的常數。 te ??tsetje ??tse?tje ??? js ?? )( 為實數， ?? 連續信號與系統的復頻域分析 ? 拉普拉斯變換 ? 用拉普拉斯變換法求解微分方程 ? R LC系統的復頻域分析 ? 閉環系統的根軌跡 ? 利用根軌跡分析系統的性能