[所有分類]第7章信號與系統控制的復頻域分析(更新版)

　　

【正文】 軌跡的起始角與終止角（出射角與入射角） ? 法則八：根軌跡與虛軸的交點 由 ? 法則九：閉環極點之和（根之和） ? 應用根之和法則時，一定要滿足 的條件。 ? 動態性能： ① 當 0 K 時，閉環特征根都是負實根，系統呈過阻尼狀態，階躍響應為非周期過程。 且 ， 利用時域卷積性質 ，有 ” 即可，易得 代入 圖 a. 中的電路參數，有 ，所以 為所求。 ? 1） KCL、 KVL的 S域形式 對 KCL和 KVL的時域形式 與 分別取單邊拉氏變換，則有 KCL和 KVL的 S域形式如下 () 式 ()表明：流入集總電路任一節點的電流的象函數的代數和為零；而沿集總電路中任一回路的各支路電壓的象函數的代數和也為零。 可得 )3()1(53)(2 ????ssssF ?)( ?tf)(sF 12,1 ??s 33 ??s)(sF3)1(1)(321211?????? sksksksF1])3()1( 53)1[( 12211 ??? ??? ??sss ssdsdk1|)3()1( 53)1( 12212 ??? ??? ??sss ssk1|)3()1( 53)3( 323 ???? ??? ??sss ssk31)1(111)(2 ?????? ssssF)()()( 3 teetetf ttt ???? ???例 已知 ，求 解： 由題 有二重極點 和單極點 ，所以 ，其中 而 所以 即 為所求。 在 時的極限 存在，并且 ， ， 只在 [s] 右半平面及虛軸上解析 的終值為 。 )()( 11 sFtf ? )]R e [( 1??s )()( 22 sFtf ? )]R e [( 2??s)()()()( 22112211 sFasFatfatfa ??? ),m a x (]R e [ )21 ???s)()( sFtf ? )]R e [( 0??s)()()( 000 sFettttf ts???? ? 0]R e [ ??s 00 ?t)(tf 00 ?t)()()( 000 ttfttttf ???? ?⑴ 線性性質 若 ，則 ， ⑵ 時移性質 若因果信號： ，則有 注意， 必須是因果信號，且 時，上述性質才成立， 此時 )()( sFtf ? )]R e [( 1??s )()( 00 ssFtfe ts ?? )]R e [( 10 ?? ??s0s ]Re[ 00 s??)(sF 1?)( 0ssF ? 10 ]R e [ ??? ss 10]R e [ ?? ??s⑶ 復頻移性質 若 ， 則 ， 式中， 為復常數， 關于收斂域的說明：因為 的收斂域為 Re[s] ，所以 的收斂域也為 ，即 。由于 F(s)的存 在與否，完全由 s 的實部 σ決定，而與 s 的虛部 jω無關，因此 收斂域的邊界是平行于 jω軸的直線。第 7章 信號與系統控制的復頻域分析法 復頻域分析法及其特點 連續信號與系統的復頻域分析 離散信號與系統控制的復頻域分析 復頻域分析法及其特點 ? 什么是復頻域分析法 ? 復頻域分析法的主要特點 什么是復頻域分析法 ? 復頻域分析法包括連續信號與系統的復頻域分析與離散信號與系統的復頻域分析兩部分； ? 在連續信號與系統的分析中，復頻域分析法即拉普拉斯分析法； ? 在離散信號與系統的分析中，復頻域分析法則稱為 Z變換法。在復平面上， 能使 F(s)存在的 s 的取值范圍稱為 F(s) 的收斂域。 熟記單邊拉氏變換的性質和常用信號的單邊拉氏變換對 ， 并有效掌握傅里葉變換和拉斯變換的內在關系 ，對信號與系統的頻率特性分析以及 LT I 系統的時域全響應的求解具有重要的價值。 ，則有 )()( sFtf ? )]R e [( 0??ssdsFdtft )()()( ?? )]R e [( 0??s?nnnsdsFdtft )()()( ??)()( sFtf ? )]R e [( 0??s??? s dFt tf ?? )()()),0m a x (]R e[( 0??s⑻ 復頻域微分 若 ，則有 ⑼ 復頻域積分 若 ，則有 ). . .210]R e [( 0 ，?? ns ?)(tf )(t?)()( sFtf ? )]R e [( 0??s )(tf)(lim)(lim)0( 0 sFstff st ???? ?? ?)(tf ??t )(?f )()( sFtf ?,]R e[( 0??s )00 ???? ? )(ssF)(tf )(l i m)(l i m)(0 sFstff st ??? ???⑽ 初值和終值定理 初值定理：若 中不包含沖激函數 及其各階導數，并且 ， 則 。 有理真分式 863)(2 ????ssssF ?)( ?tf42)4)(2(3)( 21????????skskssssF21|)4)(2(3)2(21 ????????sssssk21|)4)(2(3)4(42 ????????sssssk)4121(21)( ???? sssF as ktke ta ??? )(?)()(21)( 42 teetf tt ??? ??例 已知 ，求 解：由題 ，其中 所以 ，利用 為所求。 解：由題 、 ，用時域微分性質對系統微分方程取單邊拉氏變換，有 代入初值，整理得 )()(3)(6)(5)( tftftytyty ???????? )()( tetf t???1)0( ??y 2)0( ?? ?y)()(3)(6)]0()([5)]0()0()([ 2 sFssFsYyssYysysYs ???????? ???)(65 1365 )0()0()5()( 22 sFss sss yyssY ?? ???? ??????)(tyx)(tyf )(ty)(sG )(tg2)0( ?? ?y1)0( ??y有 與 所以 ； 而 所以 因此 且 有 為所求 3425657)(2 ????????ssssssYx )(65s13)(2 sFsssYf ????0,45)( 32 ??? ?? teety ttx1134251165s13)(2 ???????????sssssssYf)()45()( 32 teeety tttf ???? ???0,810)()()( 32 ?????? ??? teeetytyty tttfx25386513)()()(2 ?????????ssssssFsYsG f)()58()( 23 teetg tt ??? ?? R LC系統的復頻域分析 ? 用線性常系數微分方程描述輸入、輸出關系的 RLC系統，可以利用單邊拉氏變換的性質，將 RLC系統用復頻域模型來表示，大大簡化系統分析與計算。 如圖 b. ； )1()()(2 ??? tttg ????????0)]([)()( 2nnTttgtf ? 2?T )1(111)()( ss esesssGtg ?? ?????? ?? ???? ???? ??????0 0 220 11)2()](n n snsn eentnTt ??)()()()( 2121 sFsFtftf ??)1(111)1(1)(2 ssseseessF ????????)(sGsLL ?3332321)//()//( )()( Rs RRsRRsRR sFsY ???????)()2(2 1)( sFssY ??)2(21)()()(??? ssFsYsG解： ① 由題，設門信號 ，由圖有 ， 其中 。 )( sY)( +ssK)( sF — 圖 某二階系統 KssKsHsGsGs222)()(1)()(2 ??????022)( 2 ???? KsssDKs 21121 ????、0121212K =2K =2K = 0K = 0 K = K =1K =1?j???? j1??? j1[S ]圖 圖 ? 穩定性： 當開環增益 K由零變化到無窮大時，根軌跡始終在 S平面的左半部 —— 此系統對所有 K 0 都是穩定的。幅值方程則主要是用來確定真正根軌跡上的 si 點所對應的根軌跡增益 K* 或開環增益 K 值。 ， 無開環零點 ， 即 n = 3， m = 0， n – m = 3， 由于 ? 4. 廣義根軌跡 ? 1） 參數根軌跡 ? 按照開環增益 K或根軌跡增益 K*的變化繪制的根軌跡稱為常規根軌跡，而按照其它參數（時間常數、反饋系數等）的變化繪制的根軌跡則稱為參數根軌跡。 ? 經過修改后的有關法則變為 ? 法則四：實軸上的根軌跡區段 ? 實軸上某區段存在根軌跡的條件是其右側開環零點與開環極點的數目之和為偶數。因此，可將此四階閉環系統近似成閉環傳遞函數為 )8)(6)(22()()()()(2 ???????ssssssFsYsΦjs ??? 12 63 ??s 84 ??s ??z22)(2 ???? sss的二階系統，使系統的分析計算簡化。 jz ??? 52,12,1P例 試由 例 參量根軌跡，分析系統的動態性能。 只有完全滿足相方程的點才在真正的根軌跡上 。復變量 z 和 s 的關系則為 由復變函數有 F(z) 的雙邊 Z逆變換 )()()()()()()( kTtkTfkTttfttftfkkTs ????? ????????????????????kkzkTfzF )()(???????kkzkfzF )()(?????zTsez sTln)/1(? ?? C k zdzzFjkf 1)(2 1)( ?? 2） 雙邊 Z變換的定義和收斂域 ⑴ 雙邊 Z變換的定義 對于離散序列 f(k)(k = 0, 177。 ④ 無限長雙邊序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z1||z||z2|，即收斂域位于以 |z1|和 |z2|為半徑的兩個圓之間的環狀區域。 )()(2 1)( 1 ?????? ? ? kzdzzFjkf C k?R e [ z ]I m [ z ]0? ?C圖 F(z)的收斂域及反演積分路徑 例 若 ，試求原函數 f(k) 解：由題 , F(z)的收斂域為 |z|1，可知原函數 f (k)為反因 果序列， 用長除法展開為 z 的冪級數。 ()