[所有分類]第7章信號與系統控制的復頻域分析(完整版)

　　

【正文】 ????????????)()()()()()(110 sASDsNsAsDscsccsF nmn ??????????)(sN )(t?)()( ti?的逆變換直接對應于沖激函數 階導數 之和 其中，商 及其多 ),2,1( nmi ?? ? ； 而多項式除法的余式即 )()(sASD 則可展開為部分分式之和后再求逆變換。試求系統的零輸入響應 零狀態響應 、完全響應 以及系統函 數 和單位沖激響應 。 )( tf )( tyLR2 ? 1H2 ?1R 2 R 3 1 ?0 654321tf ( t )1a . b .)(tf)(tf)(tf)(sG)(ty圖 例 例 圖 a. 電路中， 輸入信號 所示，系統初始狀態為 0，試求： ① 的拉氏變換； ② 系統函數 ③ 輸出電壓 。 ? 系統閉環傳遞函數 ? 閉環特征方程 ， ? 閉環特征根（閉環極點） ? 系統的根軌跡如圖 。 1)()()()(11 ??????????iniimipszsKsHsG)()(1)()(sHsGsGs???G ( s )H ( s ) )( sY)( sF — 圖 一般控制系統 0)()(1)( ??? sHsGsD1)()( ??sHsGimiinizpKK?????11*iniimipzKK??????11? 根軌跡的幅值方程為 () ? ? 根軌跡的相角方程為 () ? 相角方程是決定閉環系統根軌跡的充分必要條件。 視開環零點在 遠處，對 分離點 d ，有 即 ，解得 ， ， 不在根軌跡上，故取 分離角則為 至此，可完成此系統的閉環根軌跡如圖 。 根軌跡。 ? 例如，某單位反饋系統的閉環傳遞函數為 ? 有 n = 4 ， m = 1 ，且 ， ， ， ；在分析其動態性能時，可認為 s3 與 z1 構成了偶極子， s4 為允許忽略的次要極點， 共軛極點則成為主導極點。 主導極點 is 離原點越遠， 動 態衰減越快，系統的快速性越好； 閉環極點 is為正實根，系統瞬態響應將是單調發散的 ； 根軌跡 在 [s] 左半平面內 ， 1?iis、 必共軛，瞬態響應呈 衰減振蕩； 在 [s]右半平面有 軌跡， 1?iis、 含正實部 ， 響應將呈 發散振蕩 ； 共軛， 軌跡 在虛軸時， 1?iis、 為共軛虛根 ， 瞬態響應將呈臨界 等幅振蕩 。 ? 首先由相方程試探并確認所期望的閉環極點是否在真正的根軌跡上 。 差為 另外，本系統為 Ⅰ 型系統，當 K* = ，系統在跟蹤斜坡輸入時的穩態誤 離散信號與系統控制的復頻域分析 ? Z 變換 ? 用 Z變換解差分方程 ? 信號的采樣與恢復 ? 離散系統的脈沖傳遞函數 ? 離散系統的表示和模擬 ? 離散系統的頻率響應 ? 離散系統的性能分析 Z 變換 ? 1） 從拉普拉斯變換到 Z變換 對連續信號 進行理想抽樣得到抽樣信號 : 對抽樣 信號 fs(t) 取雙邊拉普拉斯變換，有 慮 T = 1 時，常用 f (k) 表示 f (kT) ，則上式可為 （ ） 式（ ）稱為的雙邊 Z變換。 ③ 無限長反因果序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z||z0|，即以|z0|為半徑的圓內區域。按雙邊 Z 逆變換的定義 積分路徑 C 是收斂域內圍繞原點的逆時針方向的圍線，如圖 所示 。 與 之間的對應關系可表示為 。 例 已知 zzF )()2()3()3()3()3)(2()( 2112123133 ??????????? zKzKzKzKzzzzzFzzF )(2)()3()!23( 13)()3(33123313 ???????? ?????? ?? zz zzFzdzdKzzFzK2)()2(4)()3()!13( 122332211 ???????????? ??? ?? zz zzFzKzzFzdzdK)3|z| ()2( 2)3( 4)3( 2)3( 3)()( 23 ??????????? z zz zz zz zz zFzzF)(2)(3342521)(2234323)1(23)(11212kkkkkkkkkfkkkkkk?????????????????????????????????解： 首先對 按部分分式展開，有 對 的一階極點 z = 2 與三重極點 z = 3 ，由式 ()、 可得 由常用單邊 Z變換式 ()和式 ()， 有 ()有 用 Z變換解差分方程 ? 1. 一般信號 激勵下的零狀態響應 0)(2 1)(2 1)( 1 ??? ?? ? kzdzz zFjzdz。 () )(kf)(zF??????0)(kkzkf)(zF使 的單邊 Z 變換 存在的充分條件是 Z 復平面上使式 ()的級數收斂的 z 的區域稱為 的收斂域。 由右邊的長除結果有 即 k ≥ 0 時， f (k) = 0，且 k 0 時 所以 為所求 )1||(12)( 22??? ?? zzz zzzF????3253 zzz221 zz ?? 2zz ?322 zzz ??323 zz ?432363 zzz ??4335 zz ?5435105 zzz ??5457 zz ??zzzzF 135)( 23 ???? ??,5)3(,3)2(,1)1( ?????? fff???????0|12|00)(kkkkf? 例 若 ，試求原函數 f(k) 解：由題， F(z)的收斂域為 |z|2，可知 f(k)為反因果序列， 即 有 由于以上兩個 Z變換的收斂域的公共部分為 | z | 2 ， 故得 )2||()3()2()(2???? zzz zzF2233)3)(2()(??????? zzzzzzzF)2|z| ( 3233)( ????? z zz zzF)2|z| ( 2)1()2()3|z| ( 3)1()3( ?????????????? z zkz zk kk ??)1(])2()3[()1(])3(3)2(2[)( 11 ???????????? ?? kkkf kkkk ??)(kf ?????0)()(kkzkfzF)(kf )]([)( kfZzF ????????? ? ?Ck kzdzzFjkkf 0 )(210 0)( 1?)(zF )]([)( 1 zFZzf ??)(zF )(kf )(zF)(kf )(zF )()( zFkf ?6）單邊 Z變換 由于實際的離散信號 f (k) 都是有始信號，若令起始時刻 k0 = 0 ，而且 k 0 時 f (k)為零，則 f (k) 為因果信號。 ⑤ 不同序列的雙邊 Z變換可能相同，即序列與其雙邊 Z變換并非一一對應，只有將序列的雙邊 Z變換與收斂域連同一起，才是與序列一一對應的。 1, 177。 ? 接著就可以應用模 方程進一步確定這些滿足相方程的點所對應的根軌跡增益 K* 或開環增益 K 的值。 解：下面主要分析 T 參數變化對該系統性能的影響。 ? 3. 利用根軌跡分析系統的性能 ? 系統的根軌跡分析主要包括：系統的穩定性分析；利用主導極點與偶極子的概念把高階系統近似為一、二階系統；定性分析參數變化對近似的一、二階系統的性能的影響，并定量估算系統的性能指標；或者按照系統性能指標的要求，確定主導極點及其對應的 K* 值；必要時可以通過配置附加閉環零點產生新的偶極子，以確保系統性能指標要求的實現。 0)()(1 ?? sHsG1)()( ?sHsG111 ??????｜｜Π｜｜ΠiniimipszsK),2,1,0(2)()( 11 ???????????? ?? kkpszs iniimi ?? 法則五：根軌跡的漸進線 ? n – m 根軌跡趨向無窮遠處的漸近線與正實軸的夾角為 ? （ ） ? 法則六：根軌跡的起始角與終止角 ? 起始角為 （ ） ? 終止角為 （ ） ),2,1,0(2 ?????? kmn ka ??)()(11 jinijjjimjpppzpi???????????θ)()(11 jimijjjinjzzzpzi????????????而漸近線與實軸交點的計算公式則仍然不變。 ? 繪制參數根軌跡時， 需按系統特征方程構造新系統，使所選參量 a替代原根軌跡增益 K*的位置，將原特征方程寫成 ? （ ） ? 例 若 系統開環傳遞函數 試繪制以 T 為參變量的閉環根軌跡。 ? 2. 繪制根軌跡的基本法則及根軌跡的繪制 ? 繪制根軌跡的基本法則 ? 法則一： n 條根軌跡 ? 法則二：根軌跡對稱于實軸 ? 法則三：根軌跡的起始點與終止點： 始于開環極點，止于 ? 開環零點（ 條根軌跡止于無窮遠 ） ? 法則四：實軸上的根軌跡區段 （ 右側奇數個零點、極點 ） ? 法則五：根軌跡的漸近線 111 ????????｜｜｜｜iniimipszsK?)12()()(11??????? ????kpszs iniimimnzpmiiniia ??????? 11?mnka ??? ?? )12(mn?? 法則六：根軌跡的分離點與分離角 ? 法則七：根