數學模型離散模型(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 vvvvajijijiij若，為若為若，0,11???????????????????????????0000001100000001000011000000001001000000010001110A帶符號有向圖 G1=(V,E)的鄰接矩陣 A V~頂點集 E~弧集 定性模型 vi vj + 某時段 vi 增加導致下時段 vj 增加 減少 帶符號的有向圖 G1 + + + + + + + v2 ?v1 v3 v4 v6 v7 v5 福 州 大 學 40 ???????????????????????????10000000010020W加權有向圖 G2及其鄰接矩陣 W 定量模型 某時段 vi 增加 1單位導致下時段 vj 增加 wij單位 jwi vvij? ??的特例視為 WAv7 1 1 2 2 ?v1 v2 v3 v4 v5 v6 加權有向圖 G2 福 州 大 學 41 ?? ,2,1,0,2,1),1()()1( ?????? tnitptvtv iii? ?? ?????niniiijjiijj tpatptpwtp1 1)()1(),()1( 或)1()()1( ???? tptvtv沖量過程 （ Pulse Process) 研究由某元素 vi變化引起的系統的演變過程 vi(t) ~ vi在時段 t 的 值 ； pi(t) ~ vi在時段 t 的 改變量 (沖量 ) ))(,),(),(()()),(,),(),(()( 2121 tptptptptvtvtvtv nn ?? ??jwi vvij? ??沖量過程模型 Wtptp )()1( ?? Atptp )()1( ??或 福 州 大 學 42 2 3 1 1 0 0 1 0 1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 3 3 2 2 1 1 1 ?? ??能源利用系統的預測 簡單沖量過程 ——初始沖量 p(0)中 某個分量為 1，其余為 0的沖量過程 若開始時能源利用量有突然增加，預測系統的演變 )0()0( pv ?)1()()1( ???? tptvtvAtptp )()1( ??設 能源利用系統的 p(t)和 v(t) 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 t 4p3p 5p 6p 7p2p 4v3v2v1v 5v 6v 7v0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1p福 州 大 學 43 簡單沖量過程 S的穩定性 ? 任意時段 S的各元素的值和沖量是否為有限 (穩定 ) ? S不穩定時如何改變可以控制的關系使之變為穩定 S沖量穩定 ~對任意 i,t, | pi(t) |有界 S值穩定 ~對任意 i,t, | vi(t) |有界 值穩定 沖量穩定 )1()()1( ???? tptvtvWtptp )()1( ??tWptp )0()( ? S的穩定性取決于 W的特征根 記 W的非零特征根為 ? 福 州 大 學 44 ? S沖量穩定 ? |? | ? 1 ? S沖量穩定 ? |? | ? 1且均為單根 ? S值穩定 ? S沖量穩定 且 ?不等于 1 ???????????????????????????0000001100000001000011000000001001000000010001110A 對于能源利用系統的鄰接矩陣 A )1()( 2352 ?????????f特征多項式 76)2(,2)1( ??? ff )2,1(???能源利用系統存在 沖量不穩定 的簡單沖量過程 簡單沖量過程 S的穩定性 福 州 大 學 45 簡單沖量過程的穩定性 改進的玫瑰形圖 S* ~帶符號的有向圖雙向連通，且存在一個位于所有回路上的中心頂點。 回路長度 ~ 構成回路的邊數 回路符號 ~ 構成回路的各有向邊符號 +1或 1之乘積 ak~長度為 k的回路符號和 r~使 ak不等于 0的最大整數 ? S*沖量穩定 ? )1,2,1( ????? rkaaa r krk ?,1??ra? 若 S*沖量穩定，則 S*值穩定 ? 1???r1kka+ + + + + + + v2 ?v1 v3 v4 v6 v7 v5 福 州 大 學 46 簡單沖量過程 S*的穩定性 a1=0, a2= (1)v1v2? (1)v2v1 =1 a3=(+1)v1v3v5v1+(1)v1v4v7v1 +(+1)v1v3v2v1=1, a4=0, a5=1, r=5 ? S*沖量穩定 ? )1,2,1( ????? rkaaar krk ?,1??ra352 aaa ??? (1)v1v2?(+1)v1v2(由鼓勵利用變為限制利用 )? a2 =1 + S*沖量不穩定 )1()( 2352 ???? ?????fA的 特征多項式 且為單根12/)31(,1,0,0???????? iiS*沖量穩定 ? S*沖量穩定 ? |? | ? 1且均為單根 v1~利用量 , v2~價格 v7 + + + + + + + v2 ?v1 v3 v4 v6 v5 福 州 大 學 47 ? 若 S*沖量穩定，則 S*值穩定 ? 1???r1kka}1,0,1,1,0{},{ 54321 ??aaaaa? S*沖量穩定 ? )1,2,1( ????? rkaaar krk ?,1??rav3—能源生產率 v5—工業產值 1,1, 5353 ???? aaaa(1)v3v5 違反客觀規律 S*值不穩定 S*值穩定 (+1)v3v5 ?(1)v3v5 能源利用系統的值不應穩定？ + + + + + + + v2 ?v1 v3 v4 v6 v7 v5 + 福 州 大 學 48 效益的合理分配 11321 ??? xxx457323121??????xxxxxx例 甲乙丙三人合作經商，若甲乙合作獲利 7元， 甲丙合作獲利 5元，乙丙合作獲利 4元， 三人合作獲利 11元。又知每人單干獲利 1元。 問三人合作時如何分配獲利？ 記甲乙丙三人分配為 ),( 321 xxxx ?解不唯一 (5， 3， 3) (4， 4， 3) (5， 4， 2) …… 1,321 ?xxx福 州 大 學 49 )(1Ivxnii ???niivx i ,2,1),( ?????????212121 ),()()(0)(sssvsvssvv??},2,1{ nI ??集合 (1) Shapley合作對策 滿足實函數，子集 )( svIs ???[ I,v] ~n人合作對策， v~特征函數 ),( 21 nxxxx ?? ~n人從 v(I)得到的分配，滿足 v(s)~ 子集s的獲利 福 州 大 學 50 !)!1()!()(nssnsw ???niisvsvswxiSsi ?,2,1) ] ,\()()[( ??? ??公理化方法 ?s?~子集 s中的元素數目， Si ~包含 i的所有子集 )( sw ~由 ?s?決定的“貢獻”的權重 Shapley值 )]\()([ isvsv ? ~ i 對合作 s 的“貢獻” )( si?Shapley合作對策 福 州 大 學 51 三人 (I={1,2,3})經商中甲的分配 x1的計算 1/3 1/6 1/6 1/3 )]1\()()[( svsvsw ?)( sws)1\()( svsv ?)1\(sv)(sv1S 1 1 2 1 3 I ? ?1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3 x1=13/3 類似可得 x2=23/6, x3=17/6 )]1\()()[(11 svsvswxSs?? ??1 2 2 3 福 州 大 學 52 合作對策的應用 例 1 污水處理費用的合理分擔 20km 38km 河流 三城鎮地理位置示意圖 1 2 3 ? 污水處理，排入河流 ?三城鎮可單獨建處理廠，或聯合建廠 (用管道將污水由上游城鎮送往下游城鎮 ) Q1=5 Q3=5 Q2=3 Q~污水量， L~管道長度 建廠費用 P1= 管道費用 P2= 福 州 大 學 53 230)3(,160)2(,230573)1( ????? CCC)35(73)2,1( ???????C)53(73)3,2( ???????C)55(73)3,1( ???????C460)3()1( ??? CC污水處理的 5 種方案 1）單獨建廠 620)3()2()1(1 ???? CCCD總投資 2） 1, 2合作 3） 2, 3合作 4） 1, 3合作 580)3()2,1(2 ??? CCD總 投資 595)3,2()1(3 ??? CCD總投資 合作不會實現 福 州 大 學 54 55638)35()535(73)3,2,1(5???????????? CD5）三城合作總投資 D5最小 , 應聯合建廠 建廠費： d1=73?(5+3+5)=453 1?2管道費： d2= ? ?20=30 2?3管道費： d3= ?(5+3) ?38=73 D5 ?城 3建議： d1 按 5:3:5分擔 , d2,d3由城 1,2擔負 城 2建議： d3由城 1,2按 5:3分擔 , d2由城 1擔負 城 1計算： 城 3分擔 d1?5/13=174C(3), 城 2分擔 d1?3/13+d3 ?3/8 =132C(2), 城 1分 擔 d1?5/13+d3 ?5/8+ d2 =250C(1) 不同意 D5如何分擔？ 2 3 0)3(1 6 0)2(2 3 0)1(???CCC福 州 大 學 55 0)3()2()1(,0)( ???? vvvv ?}3,2,1{?I集合特征函數 v(s)~聯合 (集 s)建廠比單獨建廠節約的投資 ),( 321 xxxx ? ~三 城從 節約投資 v(I)中得到的分配 4035 016 023 0)2,1()2()1()21( ??????? CCCv ?64556230160230)3,2,1()3()2()1()(0)31(25365230160)3,2()3()2()32(?????????????????CCCCIvvCCCv?? Shapley合作對策 福