數學建模優秀論文嫦娥三號軟著路軌道設計與控制策略(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ，然后返回 step2，直到 J?= 0。 終端時刻的初始 值 估計， 由于軟著陸時著陸器能量為零 ,可知推力作用主要是抵消能量，將該能量等效為動能 ,則 可推出 等效速度為 ?? = √??02 +2???? 假設采用脈沖推力模式 ,將該速度抵消需要消耗的燃料量為 ?? = ??0(1?exp (? ??/????????)) 而 對于實際的有限推力模式，與 ??相對應的時間為 ???? = | | = ?? ?? ?= 0[1。?????? (。√??02:2????/ ?? )]?? ?? ? （ 10） 式 中 |m|為發動機燃料秒流量 最終得 計算結果為： ???? = 因脈沖推力比有限推力消耗的燃料量少 ， 所以 使得該計算結果偏小。 ? 目標函數的求解 第二階段 垂直方向上的減速最大值為 v2 = 2(?????????????? ???2??)??2(??2 ? ??3) 由 文獻可知 2 ??2 ??,為使衛星在第六階段自由落體，則快速調整階段的速度范圍 為 ： v 假設主減速階段衛星以一定角度 θ提供向上的推動力， 則等效速度為 v = ????(????? ??????????)/?? 由于 ??值較小， 故 可以忽略不計。 此問題為 終端時間固定型無約束最優控制問題 ,本模型 將其轉化為非線性規劃問題 ,然后借助于擬牛頓法和四階 Admas 預測 校正積分格式快速求解。為保證優化精度 ,轉化方法采用計算量稍大但精度較高的直接離散化方法。 直接離散化方法將整個最優控制過程分成若干個時間段 ,時間段之間的9 端點稱為節點 。選擇節點處的控制變量作為未知參數 ,通過插值得到整個最優控制過程的控制變量 積分狀態方程 。根據這些控制變量積分狀態方程形成目標函數 ,得到一個無約束數學規劃問題。具體如下 ： (1) 將整個飛行時間分為 N 個時間段 ,形成 N+ 1 個時間節點 ???? ( i = 0 ,1 , ?, N) ,取 ????時刻的控 制量 ???? 為優化變量 ,共有 N + 1 個變量 ； (2) 整個飛行過程的控制量可以通過在各時間節點處線性插值得到 ； (3) 采用 擬牛頓法和四階 Admas預測 校正積分 ， 得到 從 ??0到 ???? 積分狀態方程(6) 和 目標函 數 (9)。 圖 11 偏角和垂直速度隨時間變化的趨勢 快速調整段制導律（重力轉彎制導 [4]） ? 模型的分析 由于在最終著陸段中，嫦娥三號 的距月面距離只有 2 千米左右，遠遠小于月球的半徑 1738 千米，因此在建模時可以忽略月球的曲率，將月面近似 看 為水平面；且考慮到在最終著 陸段中嫦娥三號的切向速度只有幾十米每秒， 設切向速度給嫦娥三號 所帶來的離心加速度為 ， 月球半徑為?? 。 因為 嫦娥三號 的切向速度為 ????，則計算切向速度給嫦娥三號所帶來的離心加 速度公式為 ： = ????2 ??= 5721738 ??/??2 因此可以忽略嫦娥三號 的離心加速度，只考慮重力加速度。 ? 模型的建立 假設嫦娥三號 的下降軌跡在一個平面內，設制動發動機的比沖為 ??????，秒耗量為 Δm，嫦娥三號 的垂直高度為 ??34， 切向速度為 ????， 質量為 m3，制動發動機的推力方向與垂直方向夾角為 φ。 在以上假設條件下，我們對嫦娥三號進行受力分析，可以得到嫦娥三號 的動力學模型為： { ?? = ?????????(??)?? = ?Δ ?? 3+????????(??)?? = ?????????(??)???? 3???? = ?Δm （ 12） 10 ? 模型的 最優解 為了使嫦娥三號 在最終著陸段中的燃料消耗達到最小，則 設嫦娥三號 軟著陸 燃料消耗為 ： ?? = ∫ ?????? = ????????0(??0)? ??(????) （ 13） 對于重力轉彎制導法下的軟著陸模型，推力的燃耗最優控制是開關控制，而且開關次數最多不會超過 1 次。要實現嫦娥三號的終端狀態約束，嫦娥三號只能先進行自由落體，直到開關切換函數為 0 時 ， 制動發動機工作，嫦娥三號 進行制動減速，直至在到達月面時減速為 0,仿真圖如下所示： 圖 12 快速調整階段運動狀態 粗避障段制導律 （多項式制導 [5] ） ? 模型的分析 嫦娥三號軟著陸粗避障階段持續時間較短，所以需要設計有效的制導律使探測器能在有限的時間內跟蹤上標稱軌跡，外部環境的干擾是影響著陸精度的主要因素。所以，本模型首先給出了多項式，然后通過初始狀態和末端狀態反解多項式系數進而求取標稱軌跡， 然后 設計 終端滑模制導律跟蹤標稱軌跡 。 ? 模型的建立 多項式形式的標稱軌跡規劃一般假設系統狀態變量為多項式，基于邊界條件和著陸時間解相關系數。對于嫦娥三號粗避障階段，首先可以將著陸器的加速度表示為二次多項式的形式： ??? = = ??1 +??2?? +??3??2 (14) 其中 ??1， ??2和 ??3分別為待定常數矢量。對式（ 14）等式兩邊積分可以得到嫦娥三號的速度矢量和位置矢量的表達式為： ??? = v = ??1??+ ??2 ??22 +??3 ??32 +??0 (15) ?? = ??1 ??22 +??2 ??36 +??3 ??42 +??0??+ ??0 (16) 給定著陸時間 ????和初末端狀態的情況下，可以解出： C1= f ? 6v0:vftf+12 rf。r0tf2 ??2 = ?6????????+ 63??0:5????????2?48????。??0????3 (17) 11 ??3 = 6 ???????123??0 +5????????2+36???? ???0????3 ? 模型的計算和分析 生成標稱軌道的仿真參數為 著陸器在著陸點平移坐標下的初始位置矢量 ??0 = [ 20xx 600 ?400 ]???? , 初始速度矢量 ??0 =[?50 ?20 10 ]?? ?? ??? ，著陸時間為 ???? = 80??， 將參數代入到式（ 17）可得常矢量為： ??1 = [ ? ]?? ??2 = [? ? 0 ]?? ??3 = [ ]?? 10。5 基于光學圖像的粗障礙檢測就是利用月球巖石和坑的圖像特征識別大障礙 , 確定安全區域 。根據巖石和坑的特征，本文選取 避障原則如下式： {????2(??,??) ≥ 60?? 避開 隕石坑????2(??,??) ≤ 90?? 避開 山坡 (18) 圖 13 粗避障階段的等高線 將此區域圖片看做 2300 2300的矩陣，進一步分割為 23 23個 100 100的矩陣 。根據組成地面高度的矩陣， 利用 var函數求解 計算每一個矩陣的方差。方差的大小代表地面的平坦程度。 圖 14 粗避障階段最優著陸點 圖中白色區域為方差最小點 ，即為 不考慮避障階段 速度增量 的值時， 需要搜尋的12 最優 著陸區域 。 精避障階段 精避障階段，推力和姿態發動機的比沖較小且時間短，不將比沖燃料消耗計算在內。 為了 在整個降落區域的范圍內搜索最優著陸點 ，將圖片區域網格化處理為 1000 1000的矩陣， 選擇 最優區域的準則為 總高度 ????和 總平坦度 ??????值的大小。 ???? = ??????∑ ∑ ????2(??,??)??:????。????:????。?? ?????? = ??????∑ ∑ (????2(??,??) ?|????2?????|??:????。????:????。??) 用 MinMax 標準化方法消除數量級的不同 ???? = ???? ? min( ??)m x( ??) ?min( ??) ?????? = ?????? ?min(?? ??)m x(?? ??) ?min(?? ??) 設置偏好系數 λ表示區域總高度對降落點得分的影響， 1? λ表示區域總平坦度對降落點得分的影響。則降落地點總體得分 ζ = λ ???? + (1 ?λ)??????。