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專題一---恒成立與存在性問題(編輯修改稿)

2026-06-20 01:34 本頁面

　

【文章內容簡介】 m 的取值范圍 [ 解析 ] ∵ f ( x ) ＝ x2－ 1 ， x ∈ [32，＋ ∞ ) ， f (xm) － 4 m2f ( x ) ≤ f ( x － 1) ＋ 4 f ( m ) 對 x ∈ [32，＋ ∞ ) 恒成立．即 (xm)2－ 1 － 4 m2( x2－ 1) ≤ ( x － 1)2－ 1 ＋ 4( m2－ 1) 恒成立 . 即 (1m2－ 4 m2－ 1) x2＋ 2 x ＋ 3 ≤ 0 恒成立 . 即1m2－ 4 m2－ 1 ≤－ 2 x － 3x2恒成立 . g ( x ) ＝－ 2 x － 3x2＝－3x2－2x＝－ 3(1x2＋23 x) ＝－ 3(1x＋13)2＋13. ∵ x ≥32， ∴ 0 ＜1x≤23， ∴ 當1x＝23時， g ( x )m i n＝－83. ∴1m2－ 4 m2－ 1 ≤ －83. 整理得 12 m4－ 5 m2－ 3 ≥ 0 ， (3 m2＋ 1 )(4 m2－ 3) ≥ 0 . ∵ 3 m2＋ 1 0 ， ∴ 4 m2－ 3 ≥ 0 . 即： m ≥32或 m ≤ －32. (2)已知 f(x)=lnx: ① 設 F(x)=f(x+2) ，求 F(x)的單調區間； ②若不等式 f(x+1)≤f(2x+1) m2+3am+4對任意 a∈[ 1,1]，x∈[0,1] 恒成立，求 m的取值范圍 . 2xx1?【解題指南】 (2)由題意只需解不等式 F′(x) ＞ 0和 F′(x) ＜ 0即可得到單調區間；原不等式恒成立可轉化為恒成立，進一步轉化為成立 . 2x1l n 3m a 4 m2x 1? ? ? ??2m a x m inx1( l n ) ( 3m a 4 m )2x 1? ? ? ??(2)① F(x)=ln(x+2) 定義域為： (2,1)∪( 1,+∞). F′(x)= = 令 F′(x) ＞ 0，得單調增區間為和令 F′(x) ＜ 0，得單調減區間為和 2xx1?221 2( x 1 ) 2x 1 2x 2 ( x 1 ) x 2 ( x 1 )??? ? ?? ? ? ?2222( x 1 ) 2( x 2) x 3 ,( x 2) ( x 1 ) ( x 2) ( x 1 )? ? ? ??? ? ? ?( 2, 3)?? ( 3, )??( 3, 1)?? ( 1, 3)?②不等式 f(x+1)≤f(2x+1) m2+3am+4化為： ln(x+1)≤ln(2x+1) m2+3am+4即 ≤ 3ma+4m2. 現在只需求 y= (x∈[0,1]) 的最大值和 y=3ma+4m2(a∈[ 1,1])的最小值 . 因為在 [0， 1]上單調遞減 , 所以 y= (x∈[0,1]) 的最大值為 0, x1ln2x 1??x1ln2x 1??x 1 1 12 x 1 2 2( 2 x 1 )

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