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恒成立問題初探word版(編輯修改稿)

2026-02-05 19:58 本頁面

　

【文章內容簡介】離變量： 012 ??x ， 112 ???xxm在 22 ??? m 恒成立；或 012 ??x ， 112 ???xxm在 22 ??? m 恒成立 . 即 11 ??? xx 或時， ??? 11xm 例 4：（ 1）求使不等式 ],0[,c o ss in ???? xxxa 恒成立的實數 a的范圍。解析：由于函 ]43,4[4),4s i n(2c oss i n ???? ??????? xxxxa ，顯然函數有最大值 2 ，2??a 。如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題：（ 2）求使不等式 )2,0(4,c oss in ?? ???? xxxa 恒成立的實數 a的范圍。解析：我們首先要認真對比上面兩個例題的區別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得xxy cossin ?? 的最大值取不到 2 ，即 a取 2 也滿足條件，所以 2?a 。所以，我們對這類題要注意看看函數能否取得最值，因為這直接關系到最后所求參數 a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數單獨放在一側，所以也叫分離參數法。四：數形結合法對一些不能把數放在一側的，可以利用對應函數的圖象法求解。例 5：已知恒成立有時當 21)(,)1,1(,)(,1,0 2 ??????? xfxaxxfaa x，求實數 a的取值范圍。解析：由 xx axaxxf ????? 2121)( 22 ，得，在同一直角坐標系中做出兩個函數的圖象，如果兩個函數分別在 x=1和 x=1處相交，則由 122 21)1(211 ?????? aa 及得到 a分別等于 2和，并作出函數xx yy )21(2 ?? 及的圖象，所以，要想使函數 xax ??212 在區間 )1,1(??x 中恒成立，只須 xy 2? 在區間 )1,1(??x 對應的圖象在 212 ??xy 在區間 )1,1(??x 對應圖象的上面即可。當 2,1 ?? aa 只有時才能保證，而2110 ??? aa 時，只有才可以，所以 ]2,1()1,21[ ??a 。例 6：若當 P(m,n)為圓 1)1( 22 ??? yx 上任意一點時，不等式 0??? m 恒成立，則 c的取值范圍是（） A、 1221 ????? c B、 1212 ???? c C、 12???c D、 12??c 解析：由 0??? m ，可以看作是點 P(m,n)在直線 0??? cyx 的右側，而點 P(m,n)在圓1)1( 22 ??? yx 上，實質相當于是 1)1( 22 ??? yx 在直線的右側并與它相離或相切。12111|10|01022???????????????? ccc ，故選 D。同步練習設 1 2 4( ) lg ,3xxafx ??? 其中 aR? ，如果 ( .1)x??? 時， ()fx恒有意義，求 a 的取值范圍。分析：如果 ( .1)x??? 時， ()fx恒有意義，則可轉化為 1 2 4 0xxa? ? ? 恒成立，即參數分離后 212 ( 2 2 )4 x xxxa ???? ? ? ? ?， ( .1)x??? 恒成立，接下來可轉化為二次函數區間最值求解。解：如果 ( .1)x??? 時， ()fx恒有意義 1 2 4 0xxa? ? ? ?，對 ( ,1)x??? 恒成立 . 212 ( 2 2 )4 x xxxa ???? ? ? ? ? ?( .1)

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