畢業論文-淺析分類討論思想在數學中的意義及應用(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 不是上策，從而參數 a 為首選為分類的對象，接下來的問題自然就是以什么標準對 a 進行分類了。由于函數 f(x)的定義域為區間 ? ?1,2 。我們應該想到選擇閉區間的兩個端點 1， 2作為標準 ，將 a 的范圍分為三類： a≤1,1a2,a≥2. (1)當 a≤1 時，由于 32()f x axx??， 39。 2 2( ) 3 2 3 ( ) 03ax a x x xf x? ? ? ? ?得 1x =0， 2x = 23a ，因為 0， 23a 均小于 1. 故當 ? ?1,2x? 時 , 39。()xf ＞ 0. 所以 f（ x） 在 ? ?1,2 上為增函數，所以min()fx= (1)f =1a. (2)當 1a2 是，在區間 ? ?1,2 上，由 2( ) 0f x x ax? ? ?，而 ( ) 0fa? ， 0 故m in( ) ( ) 0f x f a??。 (3) 當 a≥2 時，由 39。3 2 2 2( ) , ( ) 3 2 3 ( ) 03af x a x a x x xfx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。得 1x =0， 2x = 23a 。因為 a≥2，所以 23a ? 43 ,(而 ? ?1,2x? 。于是自然就產生 了一級分類： 42233a??和 23a ? 2，及 22a?? 和 3a? ） . 當 23a??時， ()fx在 21,3a??????上為增函數。在 2 ,23a??????上為減函數。所以 ()fx的最小值應為 (1)f 與 (2)f 的大小，而 (1)f (2)f =73a( (1)f 與 (2)f 的大小要由 73a 符號確定，于是就產生了下面三級分類 ) (1) 當 72 3a?? 時， min( ) (2)f x f? 4 ?? (2) 當 7 33 a?? 時， m in( ) (1) 1f x f a? ? ?。 (3) 當 3a? 時， m in( ) (1) x f a? ? ? 這是一道錯綜負雜的分類討論綜合題，動態因素多，分類層次多，但我們 從上述分析也可看，無論問題多么復雜，分類討論這一思想方法 的選用（分類的原因），分類對象的確定，分類標準的界定以及每一分類層次的產生都有其自然而合理的理由。只要教師教學中更多的去關注這種自然性與合理性，學生對數學思想方法的掌握與使用才能運用自如，得心應手。 在解決數學問題時，由于研究問題過程中出現了不同情況，因而需要對不同情況進行分類研究。通過分類討論常能化繁為簡，更清楚的暴露問題的本質，并增加條件，使問題易于解決，同時，避免丟解。 根據問題中有可能出現的各種情況進行分類討論 例 ：函數 ()fx 2xax b? ? (a,b 為常數 )，方程 ( ) 12 0f x x? ? ?有兩個實數為 123, 4xx??. （ 1）求函數 ()fx的解析式 （ 2）設 ? 解關于 x 的不等式， ( 1)()2kkfx x??? ?（ 05 年，江西） 分析：（ 1）要求出 a,b 需要建立關于 a,b 的方程。 （ 2）解上述不等式是否需要進行分類討論？為什么？如果要進行分類討論，討論的對象是什么？分類的標準又是什么？ 解：（ 1）將 1x =3， 2x =4 分別代入 2 12 02 xxx ? ? ?? 得： 9 93a1684bab????????? 得 ? 12ab??? ，所以 2( ) ( 2)2f x xxx??? 。 （ 2）原不等式即為 2 ( 1)22k x kxxx ?????，可化為 2 ( 1) 02k x kxx ? ? ? ?? 。 即 ( 2)( 1)( ) 0x x x k? ? ? ?。由于 k 的位置（比如 k 可能在 2 的左邊也可能在 2 的右邊等等）。要最終影響最終的解集，故需要對參數k 進行分類討論。 由數軸得：當 12k??時，解集為 (1, ) (2, )xk? ? ??； 當 2k? 時，不等式為解集為 (1, 2) (2, )x? ? ??。 當 2k? 時，解集是 (1, 2) ( , )xk? ? ??。 小結：先要確定此題分類討論對象是參數 k,注意進一步討論。不重復，不漏， 此題切忌再去討論 1, 1kk??的情況。 根據研究對象的不同類型進行分類討論 例 2：解關于 x 的不等式： 2 ( 1) 1 0a a xx ? ? ? ?。 分析：首先這是一個含參數 a 的不等式，學生很容易認為是一個二次不等式實際上不一定。因為二次項函數是含參數的取值不同使不等式類型發生變化，故需要對二次項系數 a 分類；（ 1） 0a? (2) 0a? 。對于（ 2），不等式易解；對于（ 1）；又需要再次分類： 0a? 或 0a? ，因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還在兩根之間。而確定這一點滯后，又會遇到 1 與 1a誰大誰小的問題。因而又需要做一次分類討論，故而解題時，需要做三次分類討論。 解：當 0a? 時，原不等式化為 10x???，即解集 ? ?|1xx? ； 當 0a? 時，原不等式化為 1( 1)( ) 0a x x a? ? ?， （ 1） 若 0a? ，則原不等式化為 1 1 1( 1 ) ( ) 0 , ( 0 , 1 )xx a a a? ? ? ? ? ?， ?不等式解為 1|1x x xa????????或； （ 2） 若 0a? ，則原不等式為 1( 1)( ) 0xxa? ? ? （ a） 當 1a? 時， 11a? ，不等式解集為 1|1xxa????????； （ b） 當 1a? 時， 1 1a? ，不等式解集為 x?? ； （ c） 當 01a??時 ， 1a1， 不等式的解為 1|1xxa????????； 當 0a? 時，解集為 1|1x x xa????????或； 當 0a? 時，解集為 ? ?|1xx? ； 當 01a??時，解集為 ? ； 當 1a?時 ， 解集為 1|1xxa????????。 根據曲線類型進行分類討論 例 3: kR? ,問方程 22( 8 ) ( 4 ) ( 8 ) ( 4 )k k k kyx? ? ? ? ? ?表示什么曲線？ 分析：對于此題學生很容易想到學習過的橢圓和雙曲線標準方程，即想到把原式化成為 22 148kkyx ????。但是化成這一種型式的前提條件是 84kk??且 。而且 48kk??與 的正負會引起曲線類型的不同。因此對 ? ?,x? ???? 要進行分類討論： ( , 4) , 4 , ( 4 , 8 ) , 8 , ( 8 , )k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ?。又注意到4 8 0kk? ? ? ? 與 48kk? ? ? （ 4 0 8 0kk? ? ? ?且 ）表示的曲線是不一樣的。因此 還應該 有一個 “ 分界點 ”。即 6k? ，故恰當 的分類為( , 4) , 4 , ( 4 , 6) , 6 , ( 6 , 8 ) , 8 , ( 8 , )?? ??。 解：（ 1）當 4k? 時，方程變為 240x? ，即 0x? ，表示直線； （ 2）當 8k? 時，方程變為 240y? ，即 0y? ，表示直線； （ 3）當 48k ??且 k 時，原方程變為 22 148kkyx ????； (a) 當 4k? 時，方程表示雙曲線； (b) 當 46k?? 時，方程表示橢圓； (c) 當 6k? 時，方程表示圓； (d) 當 68k??時，方程表示橢圓； (e) 當 8k? 時，方程表示雙曲線。 小結：此題的分類討論點也是非常多，故需要不重復，不遺漏的分類研究。 例 4， 22lim ( 1 4 )x x x x?? ? ? ?的極限是 ( ) A .2 , D. 不存在 分析：這是一個函數極限問題。首先要讓學生回憶什么是函數極限，函 數極限和已學的數列極限有什么不同？顯然通過回憶數列極限是一個數列極限，即 x?? 有兩個意思 ,xx? ?? ? ??，應分別考察兩種情況下的極限，故此題我們在解決時應分類進行。 解：當 x??? 時， 由于 2 2 2 2l i m ( 1 4 ) l i m ( 1 4 )xxx x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，故該函數極限不存在。 小結：此題就是因為函數極限自身的特點進行了分類研究，如果把題目換成22lim ( 1 2 )x n n n?? ? ? ?結果是否相同？顯然不同，因為是一個數列極限是單