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例談變形技巧在數學解題中的應用畢業論文(編輯修改稿)

2025-08-17 20:57 本頁面

　

【文章內容簡介】解 .[4] 因式分解的主要方法有符號變形、加減變形、換元變形、拆項變形、化簡變形等 , 利用這些常見的變形方法解決 7 一些具體的因式分解的問題 . 掌握了這些變形方法后 , 這類因式分解問題就可以迎刃而解了 . 1. 換元變形例 3 分解因式 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1a a a a? ? ? ? ?. 分析 : 直接展開項數較多 , 也不利于進一步因式分解 , 可以將考慮將四個因子兩兩結合 , 并且使得兩兩結合之后的表達式盡可能接近 , 比如將 1a? 與 4a? 結合 , 2a? 與 3a? 結合 , 得到2 54aa??與 2 56aa??, 顯然它們有相同的項 2 5aa? , 還可以考慮將2 54aa??作為相同的項 , 兩種情形都應將相同的項作為一個整體 , 為計算方便 , 可作適當的換元 . 解 : ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1a a a a? ? ? ? ? [ ( 1 ) ( 4 ) ] [ ( 2 ) ( 3 ) ] 1a a a a? ? ? ? ? ? 22( 5 4 ) ( 5 6 ) 1a a a a? ? ? ? ? ?, 若令 2 5a a m??, 則上式子變形為 ( 4)( 6) 1mm? ? ? 2 10 24 1mm? ? ? ? 2( 5)m??, 最后再將 2 5m a a??代入可得 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1a a a a? ? ? ? ?22( 5 5)aa? ? ? . 若將 2 54aa??看成一整體 , 并令其為 m , 則上式變形為2( 2 ) 1 ( 1 )m m m? ? ? ?, 原式解因式為 22( 5 5)aa??. 換元變形常用于較復雜的多項式 , 并且其中有相同的部分 , 將相同的項看成整體進 8 行換元 , 掌握換元法 , 進行適當變形 , 能靈活應用于其他復雜的多項式因式分解中 . 2. 拆項變形例 4 分解因式 33 4 1xx??. 分析 : 拆項變形是一種常見的分解因式的方法 , 拆項變形之后通常分組分解 , 觀察表達式 33 4 1xx??, 容易想到把前兩項組合并提取 x , 得 2(3 4) 1xx??, 但這個表達式不能繼續分解下去了 , 需要調整 , 假如小括號中不是減 4 , 而是減 3 就簡單了 , 則可以考慮將 33x 與一次項結合 , 將一次項拆開 , 拆成 3xx??。或者考慮將 33x與常數項結合 , 將常數項拆開 , 拆成 43? . 這樣拆項 , 使復雜問題簡單化 , 更容易使問題得到解決 . 解法一 : 拆一次項 33 4 1xx?? = 33 3 1x x x? ? ? = 23 ( 1) 1x x x? ? ? =3 ( 1)( 1) ( 1)x x x x? ? ? ? =( 1)[3 ( 1) 1]x x x? ? ? = 2( 1)[3 3 1]x x x? ? ?. 解法二 : 拆常數項 33 4 1xx?? = 23 4 4 3xx? ? ? = 33( 1) 4( 1)xx? ? ? = 23 ( 1 ) ( 1 ) 4( 1 )x x x x? ? ? ? ? = 2( 1)[3 ( 1) 4]x x x? ? ? ? 9 = 2( 1)[3 3 1]x x x? ? ?. 本題若先提取前兩項的公因子 x , 導致無法繼續分解下去 , 善于觀察所求分解的表達式的特點 , 找出此題的關鍵是拆項 , 拆項后與 33x 結合進行分解 . 尋求多種方法進行解題 , 體會解決問題策略的多樣性 , 增強應用數學的意識 , 提高解決問題的能力 . 四、變形技巧在不等式中的應用不等式就是用不等號將兩個解析式連結起來所成的式子 , 也就是在一個式子中 , 數的關系不全是等號，含不等符號的式子，那它就是一個不等式 . 在利用不等式求解函數最值問題時

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