[理學]第1章復數與復變函數(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 (2484281????iizz所以， ?????? ???? )628s i n()628c os (2 4 ?? i)31(8 i???37 問題 給定復數 z=re i ?，求所有的滿足 ωn=z 的復數ω. n z??記, ze ni ?? ??? ? 由設 ??? iinn ree ?有)(2, Zkknrn ????? ????. 復數的 方根 當 z≠0時，有 n個不同的 ω值與 相對應，每一 個這樣的 ω值都稱為 z 的 n次方根， n znkinn erz???2????)2s i n2(c os n kin krn ???? ????)1,2,1,0( ?? nk ?38 當 k=0， 1， … ， n1時，可得 n個不同的根，而 k取其它整數時，這些根又會重復出現 . 幾何上 ， 的 n個值是 以原點為中心， 為半 徑的圓周上 n個等分點， 即它們是內接于該圓周 的正 n邊形的 n個頂點 . n znr（見圖）如)3,2,1,0()424s i n424(c os2184???????kkikik?????x y o 0?1?2?3?822i?139 31 8 .?例求? ?? ?? ?? ?? ?33330331332: 8 8 c os si n228 8 c os si n330 , 1 , 20 8 8 c os si n 1 333221 , 8 8 c os si n 233442 8 8 c os si n 1 333kikkikk i ikik i i??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ????????? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ?????解當 時 ，當 時當 時40 例 2 計算 i?? 1解： 因為 ， 1 i? ? ??????? ??? )43s i n()43c os (2 ?? i所以 1 i? ? ? )1,0(2243s i n2243c os24 ??????????????????kkik ???? 即 )83s i n83(c os2402 ?? iw ??)85s i n85(c os2412 ?? iw ??41 區域 、區域的概念 鄰域 ? ?? ?0 0 0000( ) : | | ? ( ) : 0 | | .N z z z z zN z z z zz?????? ? ? ??? ? ? ? ?集 合 稱 為 的（ ） 鄰 域 ，而 稱 集 合為 的 去 心 鄰 域CC42 內點、外點、邊界點 000000E? E E E E EE? E.zzzzzz若 點 集 的 點 存 在 一 個 鄰 域 全 含 于 內 ，則 稱 為 的 內 點 ；若 點 存 在 一 個 鄰 域 和 沒 有 任 何 公 共 點 ，則 稱 為 的 外 點 ；若 點 的 任 一 鄰 域 內 既 有 屬 于 的 點 ，也 有 不 屬 于 的 點 ， 則 稱 為 的 邊 界 點43 E E .E?的 所 有 邊 界 點 組 成 的 點 集 ， 稱 為 的 邊 界記 為 聚點、孤立點 0000E? E ) E ? E? EE E.zzzz設 是 一 個 點 集 ， 若 平 面 上 的 一 點 （ 不 必 屬于 的 任 意 鄰 域 都 有 的 無 窮 多 個 點 ， 則 稱為 的 聚 點 或 極 限 點 ； 若 屬 于 ， 但 非 的聚 點 ， 則 稱 為 的 孤 立 點44 開集、閉集 若點集 E的點皆為內點，則稱 E為開集； 若點集 E的每個聚點皆屬于 E，則稱 E為閉集 . 45 區域、閉域 平面點集 D稱為一個區域，如果它滿足下列兩個條件： 1） D是一個開集； 2） D是連通的，就是說 D中任意兩點都可以用完全屬于 D的一條折線連接起來 . 區域加上它的邊界稱為閉域。 有界集、無界集 若有正數 M，對于點集 E內的任意點 ，都有 ，即若 E全含于一圓之內，則稱 E為有界集，否則稱 E為無界集 . zMz ?||46 例 1 集合 為一個垂直帶形 ， 它是一個無界區域 ， 其 邊界為兩條直線： { | 1 R e 1 }zz? ? ?R e 1z ?? R e 1z ?x y o 47 例 2 集合 為 一角形 ， 它是一個無界區域 ， 其邊界為 半射線 . }3)a rg (2|{ ??? izz例 3 集合 為一個圓環 ， 它是一個有界區域 ， 其邊界 為圓 . }3||2|{ ??? izz48 1. 簡單曲線（ Jordan曲線 ) ()( ) ,()( ) ( ) [ , ]x x ta t by y tx t y t a b???????平 面 上 一 條 連 續 曲 線 可 表 示 為 ：其 中 和 是 上 連 續 的 實 函 數 .令 z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b 。 則曲線方程可記為： z=z(t)， a≤t≤b 2239。( ) 39。( ) [ , ] [ 39。( ) ] [ 39。( ) ] 0.x t y t C a b x t y t? ? ?若 、 且則 稱 曲 線 為 光 滑該 的49 有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線 . 重點 設連續曲線 C： z=z(t)， a≤t≤b， 對于 t1∈ (a， b), t2 ∈ [a, b],當 t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱 z(t1)為曲線 C的重點。 50 定義 稱 沒有重點 的連續曲線 C為簡單曲線或 Jordan曲線 。若簡單曲線 C 滿足 z(a)=z(b)時，則稱此曲線 C是簡單 閉 曲線或 Jordan閉 曲線 。 z(a)=z(b) 簡單閉曲線 z(t1)=z(t2) 不是簡單閉曲線 51 簡單閉曲線的性質 (Jordan定理 ) 任一條簡單閉曲線 C： z=z(t)， t∈ [a， b]，把復 平面唯一地分成三個點集，具有如下性質 彼此不相交 。 I(C)一個是有界區域，稱為 C的內部； E(C)一個是無界區域，稱為 C的外部； 若簡單折線Ｐ的一個端點屬于 I(C) ，而另一個 端點屬于 E(C)則Ｐ必與Ｃ有交點 . 52 2. 單連通域與多連通域 z(a)=z(b) C 內部 外部 邊界 定義 復平面上的一個區域 D，如果 D內的任何簡單閉曲線的 內部總在 D內，就稱 D為單連通 域；非單連通域稱為多連通域 . 53 例如 |z|R（ R0）是單連通的； 0≤r|z|R是多連通的 . 單連通域 多連通域 多連通域 單連通域 54 復變函數 復變函數的定義 定義 ).(, zfwzwivuwEzfiyxzE???????記作）的函數（簡稱復變函數是復變數則稱復變數與之對應就有一個或幾個使得存在法則的非空集合是一個復數設() ( )E z w f zE z w f z??中 每 一 個 則 單 數中 存 在 個 則 數若 一 值 ， 是 值 函 。多 值 ， 是 多 值 函 .今 后 無 特 別 聲 明 ， 所 討 論 的 函 數 均 為 單 值 函 數 .55 面區域（定義域）的定義集合，常常是平— )( zfE函數值集合—},)({* GzzfwwE ???( , ) 。