復變函數(shù)第二章解析函數(shù)(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 在 處解析和在 的某一個鄰 ()fz 0z 0z域內(nèi)解析意義相同 . 復變函數(shù)在 區(qū)域內(nèi)解析 與在該 區(qū)域內(nèi)可導 是 等價 的 . 事實上，復變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該 區(qū)域內(nèi)可導 . 反之 , 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 D內(nèi)可導 , 則對 ()fz任意 存在 z的某一個鄰域 U, 使得 U ? D, ,zD?由 在 D內(nèi)可導 , 可知 在 U內(nèi)可導 , 即 ()fz ()fz在 z處解析 . ()fz若函數(shù) 在 處 不解析 ，則稱 是 ()fz 0z 0z ()fz的 奇點 . 若 是 的奇點 , 但在 的某鄰域內(nèi) , 0z ()fz 0z除 外 , 沒有其他的奇點，則稱 是函數(shù) 0z 0z ()fz的 孤立奇點 . 由例 1和例 2知 , 函數(shù) 是全 2()f z z?平面內(nèi)的解析函數(shù)，但是函數(shù) ( ) 2f z x y i??是處處不解析的連續(xù)函數(shù) . 根據(jù)求導法則，很容易得到下面的結(jié)論 . 定理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 D內(nèi)解析 , 則 ( ) , ( )f z g z( ) ( ) , ( ) ( )f z g z f z g z?也在 D內(nèi)解析 . 當 時 , 是 00, ( ) 0z D g z??0z? ?? ?fzgz的解析點 . 特別地 , 多項式 P(z)在全平面內(nèi)解析 , 有理分式在復平面內(nèi)除分母為零的點之外解析 , 分母為零的點是有理分式的孤立奇點 . 例 3 證明 在 處可導 , 2()f z z z? 0z?但處處不解析 . 證明 : 根據(jù)導數(shù)的定義 , 200( ) ( 0 )l i m l i m 0.zzf z f zz??? ??因此 在 處可導，且 ()fz 0z? ( 0 ) 0 .f ? ?當 時 , 由 得 0 0z ? 22 0 0 0, z z z z z z??220 0 0( ) ( )f z f z z z z z? ? ?2 2 2 20 0 0 0( ) ( ) .z z z z z z z z? ? ? ?故 200 0000( ) ( ) ( ) .f z f z z zz z z zz z z z??? ? ?雖然 020 0 0 0li m ( ) 2 2 ,zz z z z z z z? ? ? ?但是當 z分別從平行于 x, y軸方向趨于 z0時， 分別 00zzzz??以 1和 1為極限，因此 不存在 . 又因為 000limzzzzzz???0 0,z ? 所以 不存在，即 000( ) ( )limzzf z f zzz??? ()fz在 時不可導 , 從而在復平面內(nèi)處處不解析 . 0z?167。 復函數(shù)可導與解析的充要條件 如果復變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義域 D內(nèi)處處可導，則函數(shù) w = f (z) 在 D內(nèi)解析。 本節(jié)從函數(shù) u (x , y) 及 v (x , y) 的可導性，探求 函數(shù) w=f (z) 的可導性，從而給出判別函數(shù)解析的 一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導方法。 問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？ 一 . 解析函數(shù)的充要條件 yixyxivyxuyyxxivyyxxu??????????????? )],(),([)],(),([則可導在點設(shè)函數(shù),),(),()(iyxzyxivyxuzfw??????? ??? z zfzzf )()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz?????????????????????????????????),(),(lim),(),(lim )],(),([)],(),([lim )()(lim)(0000)0( ????? yzzz若沿平行于實軸的方式xvixu??????yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz?????????????????????????????????),(),(lim),(),(lim)],(),([)],(),([lim)()(lim)(0000 )0( ????? xzzz若沿平行于虛軸的方式y(tǒng)uiyvyvyui ???????????? 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf???????????????????????? )(39。 存在? ? 記憶 yvxvyuxu????????? 定義 對于二元實函數(shù) u(x, y)和 v(x, y)，方程 稱為 柯西 黎曼方程 (簡稱 CR方程 ). yuxvyvxu???????????定理 設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在區(qū)域 D內(nèi)有定義， 則 f (z)在點 z=x+iy ∈ D處可導的充要條件是 （ 1） u(x, y) 和 v(x, y) 在點 (x, y ) 可微； （ 2） u(x, y) ， v(x, y) 在點 (x, y )滿足柯西 黎曼方程 yuxvyvxu???????????上述條件滿足時，有 ( ) .u v u u v v y uf z i i i ix x x y y x y y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 由此可以看出可導函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系 .當一個函數(shù)可導時 ,僅由其實部或虛部就可以求出導數(shù)來 . ? 利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導的 . 定理 。由解析函數(shù)的定義 ，我們可以得到定理 . 定理 函數(shù) f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在區(qū)域 D內(nèi)解 析的充要條件是 （ 1） u(x, y) 和 v(x, y)在 D內(nèi) 可微 （ 2） u(x, y) 和 v(x, y)在 D內(nèi) 滿足柯西 黎曼方程 yuxvyvxu???????????解析函數(shù)的判定方法 : (1) 如果能夠用求導公式或求導法則驗證復 變函數(shù) f (z)的導數(shù)在區(qū)域 D內(nèi)處處存在 , 則可直 接斷定 f (z) 在區(qū)域 D內(nèi)解析 . (2) 如果復變