[理學]概率論與數理統計課后全本答案盛聚版(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 =，現從中隨 機地獨立地取三件，發現這三件都是好的（這一事件記為 B），試分別求 P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（這里設物品件數很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨立地） ∵ B表取得三件好物品。 B=A1B+A2B+A3B 三種情況互斥 由全概率公式，有 ∴ P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =()3+()3+()3= 0 0 8 6 )()()|()()()()|(1 2 8 6 )()()|()()()()|(8 7 8 6 )()()|()()()()|(333333222231111???????????????BPABPAPBPBAPBAPBPABPAPBPBAPBAPBPABPAPBPBAPBAP 37.[三十四 ] 將 A， B， C 三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為 α ，而輸出為其它一字母的概率都是 (1－ α )/2。今將字母串 AAAA， BBBB， CCCC之一輸入信道，輸入 AAAA， BBBB， CCCC的概率分別為 p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知輸出為 ABCA，問輸入的是 AAAA的概率是多少？（設信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的。） 解：設 D表示輸出信號為 ABCA， B B B3分別表示輸入信號為 AAAA， BBBB，CCCC，則 B B B3為一完備事件組，且 P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。 再設 A發、 A收分別表示發出、接收字母 A，其余類推，依題意有 P (A收 | A發 )= P (B收 | B發 )= P (C收 | C發 )=α ， P (A收 | B發 )= P (A收 | C發 )= P (B收 | A發 )= P (B收 | C發 )= P (C收 | A發 )= P (C收 | B發 )= 21α? 又 P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收 | A發 ) P (B收 | A發 ) P (C收 | A發 ) P (A收 | A發 ) = 22 )21( αα ? ， 同樣可得 P (D | B 2) = P (D | B 3) = 3)21( αα ?? 于是由全概率公式，得 33222131)21()()21()|()()(ααPPαapBDPBPDPiii?????? ?? 由 Bayes公式，得 P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = )( )|()( 11 DP BDPBP = ))(1(2 2 321 1 PPαPα Pα ??? [二十九 ] 設第一只盒子裝有 3 只藍球， 2 只綠球， 2 只白球；第二只盒子裝有 2 只藍球， 3只綠球， 4只白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。（ 1）求至少有一只藍球的概率，（ 2）求有一只藍球一只白球的概率，（ 3）已知至少有一只藍球，求有一只藍球一只白球的概率。 解：記 A A A3 分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球、綠球、白球， BB B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球。 （ 1）記 C={至少有一只藍球 } C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1， 5種情況互斥 由概率 有限可加性，得 9592729272947393739273)()()()()()()()()()()()()()()()(13123121111312312111????????????????????BPAPBPAPBPAPBPAPBPAPBAPBAPBAPBAPBAPCP獨立性 （ 2）記 D={有一只藍球，一只白球 }，而且知 D= A1B3+A3B1兩種情況互斥 631692729473)()()()()(()( 13311331????????? BPAPBPAPBAPBAPDP （ 3） )(3516)( )()( )()|( DCDCP DPCP CDPCDP ???? 注意到 [三十 ] A， B， C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據統計知，打給 A， B，C 的電話的概率分別為 51,52,52 。他們三人常因工作外出， A， B， C 三人外出的概率分別為 4141,21 ，設三人的行動相互獨立，求 （ 1）無人接電話的概率；（ 2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進了 3個電話，求（ 3）這 3個電話打給同一人的概率；（ 4）這 3個電話打給不同人的概率；（ 5）這 3個電話都打給 B，而 B卻都不在的概率。 解：記 C C C3分別表示打給 A， B， C的電話 D D D3分別表示 A， B， C外出 注意到 C C C3獨立，且 51)(,52)()( 321 ??? CPCPCP 41)()(,21)( 321 ??? DPDPDP （ 1） P（無人接電話） =P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) = 321414121 ??? （ 2）記 G=“被呼叫人在辦公室”， 332211 DCDCDCG ??? 三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式 2013435143522152)|()()|()()|()()()()()(333222111332211?????????????CDPCPCDPCPCDPCPDCPDCPDCPGP????????????? )()|( kkk DPCDP故否和來電話無關由于某人外出與 （ 3） H為“這 3個電話打給同一個人” 12517515151525252525252)( ??????????HP （ 4） R為“這 3個電話打給不同的人” R由六種互斥情況組成，每種情況為打給 A， B， C的三個電話，每種情況的概率為 1254515252 ??? 于是 1 25241 2546)( ???RP （ 5）由于是知道每次打電話都給 B，其概率是 1，所以每一次打給 B電話而 B不在的概率為 41 ，且各次情況相互獨立 于是 P（ 3個電話都打給 B， B都不在的概率） = 641)41( 3 ? 第二章 隨機變量及其分布 1.[一 ] 一袋中有 5只乒乓球，編號為 5，在其中同時取三只，以 X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量 X的分布律 解： X可 以取值 3， 4， 5，分布律為 1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522???????????????CCPXPCCPXPCCPXP中任取兩球再在號一球為中任取兩球再在號一球為號兩球為號一球為 也可列為下表 X： 3， 4， 5 P： 106,103,101 3.[三 ] 設在 15 只同類型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以 X表示取出次品的只數，（ 1）求 X的分布律，（ 2）畫出分布律的圖形。 解：任取三只，其中新含次品個數 X可能為 0， 1， 2個。 3522)0( 315313 ??? CCXP 3512)1( 315 21312 ???? C CCXP 351)2( 315 11322 ???? C CCXP 再列為下表 X： 0， 1， 2 P： 351,3512,3522 4.[四 ] 進行重復獨立實驗，設每次成功的概率為 p，失敗的概率為 q =1－ p(0p1) （ 1）將實驗進行到出現一次成功為止，以 X表示所需的試驗次數，求 X的分布律。x 1 2 O P （此時稱 X服從以 p為參數的幾何分布。） （ 2）將實驗進行到出現 r次成功為止，以 Y 表示所需的試驗次數，求 Y的分布律。（此時稱 Y服從以 r, p為參數的巴斯卡分布。） （ 3）一籃球運動員的投籃命中率為 45%，以 X表示他首次投中時累計已投 籃的次數，寫出 X的分布律，并計算 X取偶數的概率。 解：（ 1） P (X=k)=qk－ 1p k=1,2,?? （ 2） Y=r+n={最后一次實驗前 r+n－ 1次有 n次失敗，且最后一次成功 } ,2,1,0,)( 111 ?????? ????? npqCppqCnrYP rnn nrrnn nr其中 q=1－ p， 或記 r+n=k，則 P{Y=k}= ?,1,)1(11 ??? ??? rrkppC rkrrk （ 3） P (X=k) = ()k－ k=1,2… P (X取偶數 )= 31)()2(1121 ??? ??????? kkk kXP 6.[六 ] 一大樓裝有 5 個同類型的 供水設備，調查表明在任一時刻 t 每個設備使用的概率為 ，問在同一時刻 （ 1）恰有 2個設備被使用的概率是多少？ 0 7 2 )()()2( 322525225 ?????? ? CqpCXP （ 2）至少有 3個設備被使用的概率是多少？ 0 0 8 5 )()()()()()3( 5554452335 ?????????? CCCXP （ 3）至多有 3個設備被使用的概率是多少？ 3225415505 )()()()()3( ???????? CCCXP 9 9 9 5 )()( 2335 ???? C （ 4）至少有一個設備被使用的概率是多少？ )0(1)1( ??????? XPXP [五 ] 一房間有 3扇同樣大小的窗子，其中只 有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。 （ 1）以 X表示鳥為了飛出房間試飛的次數，求 X的分布律。 （ 2）戶主聲稱，他養的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以 Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數，如戶主所說是確實的，試求 Y的分布律。 （ 3）求試飛次數 X小于 Y的概率；求試飛次數 Y小于 X的概率。 解：（ 1） X的可能取值為 1， 2， 3，?， n，? P {X=n}=P {前 n－ 1次飛向了 另 2扇窗子，第 n次飛了出去 } = 31)32( 1??n ， n=1， 2，?? （ 2） Y的可能取值為 1， 2， 3 P {Y=1}=P {第 1次飛了出去 }=31 P {Y=2}=P {第 1次飛向 另 2扇窗子中的一扇，第 2次飛了出去 } = 312132 ?? P {Y=3}=P {第 1， 2次飛向了另 2扇窗子，第 3次飛了出去 } = 31!3!2? ?????????????3231}|{}{}|{}{}{)3(kkkYYXPkYPkYYXPkYPYXP ???????? ??? 0}1|{ YYXP全概率公式并注意到 278313231313131}{}{32??????? ????????? ??kkXPkYP }{}|{,kXPkYYXPYX????獨立即注意到 同上， ?? ?????31 }|{}{}{ k kYYXPkYPYXP 81192743192313131}{}{31 ?????????? ??k kXPkYP 故 8138){}{1}{ ??????? YXPYXPXYP 8.[八 ] 甲、乙二人投籃，投中的概率各為 , ，令各投三次。求 （ 1）二人投中次數相等的 概率。 記 X表甲三次投籃中投中的次數 Y表乙三次投籃中投中的次數 由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。 P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) = ()3 ()3+ [ ])([])( 213