高一數學立體幾何基礎題題庫(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 C，即側面BB1C1C為矩形∴ 又∴ S全= （3）∵ cos∠A1AB=cos∠A1AOcos∠OAB∴ cos∠A1AO=∴ sin∠A1AO=∴ A1O=A1Asin∠A1AO=∴ ]（4）把線A1A到側面BB1C1C的距離轉化為點A或A1到平面BB1C1C的距離為了找到A1在側面BB1C1C上的射影，首先要找到側面BB1C1C的垂面設平面AA1M交側面BB1C1C于MM1∵ BC⊥AM，BC⊥A1A∴ BC⊥平面AA1M1M∴ 平面AA1M1M⊥側面BCC1B1在平行四邊形AA1M1M中過A1作A1H⊥M1M，H為垂足則A1H⊥側面BB1C1C∴ 線段A1H長度就是A1A到側面BB1C1C的距離∴ 398. 平面α內有半徑為R的⊙O，過直徑AB的端點A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一點，∠CAB=600，求三棱錐P—OBC的側面積。解析：三棱錐P—OBC的側面由△POB、△POC、△PBC三個三角形組成在求出邊長元素后，求三角形面積時，應注意分析三角形的形狀，簡化計算∵ PA⊥平面ABC∴ PA⊥AO，AC為PC在平面ABC上的射影∵ BC⊥AC∴ BC⊥PC△ POB中，△ PBC中，BC=ABsin600=2a∴ AC=a∴ PC=∴ △ POC中，PO=PC=，OC=a∴ ∴ S側=399. 四棱錐V—ABCD底面是邊長為4的菱形，∠BAD=1200，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC與BD交于O，（1）求點V到CD的距離；（2）求點V到BD的距離；（3）作OF⊥VC，垂足為F，證明OF是BD與VC的公垂線段；（4）求異面直線BD與VC間的距離。解析：用三垂線定理作點到線的垂線在平面ABCD內作AE⊥CD，E為垂足∵ VA⊥平面ABCD∴ AE為VE在平面ABCD上的射影∴ VE⊥CD∴ 線段VE長為點V到直線CD的距離∵ ∠BAD=1200∴ ∠ADC=600∴ △ACD為正三角形∴ E為CD中點，AE=∴ VE= （2）∵ AO⊥BD∴ 由三垂線定理VO⊥BD∴ VO長度為V到直線BD距離 VO= （3）只需證OF⊥BD ∵ BD⊥HC，BD⊥VA ∴ BD⊥平面VAC ∴ BD⊥OF ∴ OF為異面直線BD與VC的公垂線 （4）求出OF長度即可在Rt△VAC中OC=AC=2，VC=∴ OF=OCsin∠ACF=OC400. 斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三點的距離都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的側面積。解析：∵A1A=A1B=A1C∴ 點A1在平面ABC上的射影為△ABC的外心，在∠BAC平分線AD上∵ AB=AC∴ AD⊥BC∵ AD為A1A在平面ABC上的射影∴ BC⊥AA1∴ BC⊥BB1∴ BB1C1C為矩形，S=BB1BC=156取AB中點E，連A1E∵ A1A=A1B∴ A1E⊥AB∴ ∴ ∴ S側=396401. 如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90176。，BC＝a,AC＝b,D是斜邊AB上的點，以CD為棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎樣的位置時，AB為最小，最小值是多少?解析： 設∠ACD＝θ，則∠BCD＝90176。θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.∴MN＝｜asinθbcosθ｜，因為A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM與BN成90176。的角，于是AB＝＝≥.∴當θ＝45176。即CD是∠ACB的平分線時，AB有最小值，最小值為.，求證：它們所成的角與二面角的平面角互補.已知：從二面角α—AB—β內一點P，向面α和β分別引垂線PC和PD，：∠CPD和二面角的平面角互補.證：設過PC和PD的平面PCD與棱AB交于點E，∵PC⊥α，PD⊥β∴PC⊥AB，PD⊥AB∴CE⊥AB，DE⊥AB又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角.在四邊形PCED內：∠C＝90176。，∠D＝90176。∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互補.：在已知二面角，從二面角的棱出發的一個半平面內的任意一點，到二面角兩個面的距離的比是一個常數.已知：二面角α—ED—β，平面過ED，A∈，AB⊥α，⊥β，垂足是C.求證：AB∶AC＝k(k為常數)證明：過AB、AC的平面與棱DE交于點F，連結AF、BF、CF.∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.∠BFA，∠AFC分別為二面角α—DE—，—DE—β的平面角，它們為定值.在RtΔABF中，AB＝AFsin∠AFB.在RtΔAFC中，AC＝AFsin∠AFC，得：＝＝定值.404. 如果直線l、m與平面α、β、滿足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有( )⊥且l⊥m ⊥且m∥β∥β且l⊥m ∥β且α⊥解析：∵mα,m⊥. ∴α⊥.又∵m⊥,β∩＝l. ∴m⊥l.∴應選A.說明 本題考查線面垂直、面面垂直及綜合應用推理判斷能力及空間想象能力.405. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函數表示)；(2)點A到平面PBC的距離.解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′為矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，∴sin∠CDD′＝＝∴CD＝a ∴D′D＝2a∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC又在RtΔABC中，AC＝＝a,∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.在RtΔPAB中，可得PB＝a.在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.在RtΔPAD中，PD＝＝a.∵PC2+CD2＝(a)2+(a)＝8a2＜(a)2∴cos∠PCD＜0，則∠PCD＞90176。∴作PE⊥CD于E，E在DC延長線上，連AE，由三垂線定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP為二面角P—CD—A的平面角.在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a.∴AE＝ADsin∠ADE＝3a＝a.在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.∴∠AEP＝arctan，即二面角P—CD—A的大小為arctan.(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.AH為點A到平面PBC的距離.在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.即A到平面PBC的距離為a.說明 (1)中輔助線AE的具體位置可以不確定在DC延長線上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，從而∠PEA為所求，同樣可得結果，避免過多的推算.(2)中距離的計算，在學習幾何體之后可用“等體積法”求.406. 如圖，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點.(1)求二面角α—l—β的大小；(2)求證：MN⊥AB；(3)求異面直線PA與MN所成角的大小.解析：(1)連PD，∵ABCD為矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥⊥l，∴PD⊥l.∵P、D∈β，則∠PDA為二面角α—l—β的平面角.∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45176。，即二面角α—l—β的大小為45176。.(2)過M作ME∥AD，交CD于E，連結NE，則ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB(3)過N作NF∥CD，交PD于F，則AF為∠PAD的角平線，∴∠FAD＝45176。，而AF∥MN，∴異面直線PA與MN所成的45176。角.407. 如圖，在三棱柱ABC—A′B′C′中，四邊形A′ABB′是菱形，四邊形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.(1)求證：平面CA′B⊥平面A′AB；(2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60176。，求AC′與平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函數表示)解析：(1)∵在三棱柱ABC—A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB(2)由四邊形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60176。，連AB′，可知ΔABB′ B B′中點H，連結AH，則AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面 C′B′BC，而AH垂直于兩平面交線BB′，∴AH⊥平面C′B′′H，則∠AC′H為 AC′與平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝2，于是直角三角形C′B′A中，A′C＝5，在RtΔAHC′中，sin∠AC′H＝∴∠AC′H＝arcsin,∴直線AC′與平面BCC′B′所成的角是arcsin.408. 已知四棱錐P—ABCD，它的底面是邊長為a的菱形，且∠ABC＝120176。，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E為PA的中點.(1)求證：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求點E到平面PBC的距離；(3)求二面角A—BE—D的大小.(1)證明: 在四棱錐P—ABCD中，底面是菱形，連結AC、BD，交于F，則F為AC的中點.又E為AD的中點，∴EF∥PC又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥.∴平面EBD⊥平面ABCD.(2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC∴E到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離過F作FH⊥BC交BC于H，∵PC⊥平面ABCD，FH平面ABCD∴PC⊥FH.又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，則FH是F到平面PBC的距離，也是E到平面PBC的距離.∵∠FCH＝30176。，CF＝a.∴FH＝CF＝a.(3)取BE的中點G，連接FG、AG由(1)的結論，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，∴AF⊥平面BDC.∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂線定理得，AG⊥BE，∴∠FGA為二面角D—BE—A的平面角.FG＝＝a,AF＝a.∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg即二面角A—BE—D的大小為arctg409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直線AABBCC1相交于一點O，求證：(1)AB和A1BBC和B1CAC和A1C1分別在同一平面內；(2)如果AB和A1BBC和B1CAC和A1C1分別相交，那么交點在同一直線上(如圖