高一數(shù)學立體幾何基礎題題庫(已改無錯字)

　　

【正文】 ).(1)證明：∵AA1∩BB1＝O,∴AABB1確定平面BAO，∵A、AB、B1都在平面ABO內(nèi)，∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可證，BC和B1CAC和A1C1分別在同一平面內(nèi).(2)分析：欲證兩直線的交點在一條直線上，可根據(jù)公理2，證明這兩條直線分別在兩個相交平面內(nèi)，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上.證明：如圖，設AB∩A1B1＝P；AC∩A1C1＝R；∴ 面ABC∩面A1B1C1＝PR.∵ BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR,即 P、R、Q在同一直線上.410. 點P、Q、R分別在三棱錐ABCD的三條側(cè)棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝：X、Y、Z三點共線.解析： 證明點共線的基本方法是利用公理2，證明這些點是兩個平面的公共點.證明 ∵P、Q、R三點不共線，∴P、Q、R三點可以確定一個平面α.∵ X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD.∴ ，點Y、Z都是這兩個平面的公共點，即點X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交線上.411. 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面.解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個平面，證明其余的直線在這個平面里；二是分別確定幾個平面，然后證明這些平面重合.證明 ∵a∥b,∴過a、b可以確定一個平面α.∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.又∵A∈m，B∈m,∴.∵b∥c,∴過b,c可以確定平面β，同理可證mβ.∵平面α、β都經(jīng)過相交直線b、m,∴平面α和平面β重合，即直線a、b、c、m、n共面.412. 證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內(nèi).已知：如圖，直線l1，l2，l3，l4兩兩相交，且不共點.求證：直線l1，l2，l3，l4在同一平面內(nèi)解析：，然后證其它直線也在α內(nèi).證明：圖①中，l1∩l2＝P，∴ l1,l2確定平面α.又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α.故 l3α.同理 l4α.∴ l1,l2,l3,l4共面.圖②中，l1,l2,l3,l4的位置關系，同理可證l1,l2,l3,l4共面.所以結(jié)論成立.413. 證明推論3成立.（如圖）已知：a∥b，求證：經(jīng)過a,b的平面有且只有一個.證明：(存在性)∵a∥b，由平行線的定義知：a、b共面，所以經(jīng)過a、b的平面有一個.(唯一性)，在a上取兩點A、B，在b上取一點C.∵a∥b,∴A、B、C三點不共線，由公理3知過A、B、C三點的平面只有一個，從而過a,b兩直線的平面也是惟一的.，它和這個平面有幾個公共點?為什么?解析：只有一個，假設有兩個公共點，由公理1知該直線上所有點都在這個平面內(nèi)，這和直線過平面外一點矛盾.，證明：這三條直線在同一平面內(nèi).解答：已知：Aa，如圖，B、C、D∈a，證明：AB、AC、AD共面.證明：∵Aa，∴A，a確定平面α，∵B、C、D∈a，aα.∴B、C、D∈α又A∈α.∴AB、AC、ADα.即AB、AC、AD共面.416. 空間可以確定一個平面的條件是( ) 解析： 由推論2和推論3知兩條相交直線或者兩條平行直線才確定一個平面，由推論1知點必在線外才合適，D中三個點不一定不共線，知選C.417. 下列命題正確的是( )，則兩個平面一定是重合平面、β有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線解析：根據(jù)公理公理3知選D.418. 已知四點，無三點共線，則可以確定( ) 解析： 因為無三點共線，所以任意三個點都可以確定平面α，若第四個點也在α內(nèi)，四個點確定一個平面，當?shù)谒膫€點在α外，.419. 已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個球的半徑是( ) 解析： 如圖，設球的半徑是r，則πBD2＝5π，πAC2＝8π，∴BD2＝5，AC2＝＝1，設OA＝x.∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2.解之，得r＝3故選B.420. 在桌面上有三個球兩兩相切，且半徑都為1，在桌面與三球間放置一個小球，.解析： 如圖，球O為放置在桌面上與已知三球相切的半徑為r的小球，過O作O1O2O3平面的垂線，垂足為H，它一定是ΔO1O2O3的中心，連接O1H，O1O，在RtΔO1OH中，O1H＝，OH＝1r,OO1＝1+r,∴OO12＝O1H2+OH2，即(1+r)2＝()2+(1r)2，解得r＝.421. 地球半徑為R，在北緯45176。圈上有A、B兩點，它們的經(jīng)度差為，求球面上A、B兩點間球面距離.解析：本題關鍵是求出∠AOB的大小，(如圖1)，以O1O，O1A，O1B為三條相互垂直的棱，可構(gòu)造一個長方體，問題轉(zhuǎn)化為長方體截面ABO內(nèi)求∠BOA的問題.解： 如圖2，∵∠O1OA＝＝∠O1OB，OA＝OB＝R，∴OO1＝O1A＝O1B＝R ∴AB2＝O1A2+O1B2＝R， ∴ΔAOB為等邊Δ， ∴∠AOB＝，A、B間的球面距離為R.422. 一個圓在平面上的射影圖形是( ) 解析：D423. 兩面都是凸形的鏡中，它的面都是球冠形，球半徑分別為10cm和17cm，兩球心間的距離為21cm，求此鏡面的表面積和體積.解析：軸截面如圖，設O2C＝x，則CO1＝21x,∵AB⊥O1O2 ∴AO22O2C2＝AO12CO12，即102x2＝172(21x)2，解得x＝6,CO1＝15,又設左邊球缺的高為h1,右邊的球缺高為h2，則h1＝1715＝2,h2＝106＝4,∴S表＝2π(172+104)＝148π(cm)2,V＝π［22(3102)+42(3174)］＝288π(cm3).424. 正三棱錐的底面邊長是2cm，側(cè)棱與底面成60176。角，求它的外接球的表面積.解析：如圖，PD是三棱錐的高，則D是ΔABC的中心，延長PD交球于E，則PE就是外接球的直徑，AD＝AB＝，∠PAD＝60176。，∴PD＝ADtan60176。＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA2＝PDPE＝＝，R＝，∴S球＝π(cm)2.425. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍.證明： 設球的半徑為R，正四面體的高為h，側(cè)面積為S，則有VA—BCD＝VO—ABC+VO—ABD+VO—BCD，如圖，即Sh＝4SR,∴h＝4R.426. 地球半徑為R，A、B兩地都在北緯45176。線上，且A、B的球面距離為，求A、B兩地經(jīng)度的差.解析：如圖，O為球心，O1為北緯45176。小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得∠AOB的弧度數(shù)，進而求得線段AB的長，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B兩地的經(jīng)度差. 解： 設O1是北緯45176。圓的中心，∵A、B都在此圓上，∴O1A＝O1B＝R.∵A、B的球面距離為，∴∠AOB＝＝＝,ΔAOB為等邊三角形.AB＝R，在ΔAO1B中，∵O1A2+O1B2＝R2+R2＝R2＝AB2，∴∠AO1B＝90176。.∴A、B兩地的經(jīng)度差是90176。.評析：注意搞清緯度和經(jīng)度的問題，球面距離三步驟的運用是非常重要的問題.427. 已知圓錐的母線長為l，母線對圓錐底面的傾角為θ，在這個圓錐內(nèi)有一內(nèi)切球，球內(nèi)又有一個內(nèi)接的正方體，求這個內(nèi)接正方體的體積.解析：設球半徑為R，以內(nèi)接正方體對角面為軸截面，∠OAD＝，R＝OD＝ADtan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又設正方體棱長為x，則3x2＝EG2＝4R2,x＝R.∴V正方體＝(lcosθtan)3.428. 如圖，過半徑為R的球面上一點P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA2+PB2+PC2為定值；(2)求三棱錐P—ABC的體積的最大值.解析：先選其中兩條弦PA、PB，設其確定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了.解： (1)設過PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，∴AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長交⊙O1于D，則PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2.設O為球心，則OO1⊥平面⊙O1，∵PC⊥⊙O1平面，∴OO1∥PC，因此過PC、PD的平面經(jīng)過球心O，截球得大圓，又PC⊥PD.∴CD是球的直徑.故 PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.(2)設PA、PB、PC的長分別為x、y、z，則三棱錐P—ABC的體積V＝xyz，V2＝x2y2z2≤()3＝＝R6.∴V≤R3.即 V最大＝R3.評析：定值問題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向.球面上任一點對球的直徑所張的角等于90176。，這應記作很重要的性質(zhì).429. 求棱長為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑.解析：如圖，作AH⊥底面BCD于H，則AH＝a，設內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，O點與A、B、C、D相連，得四個錐體，設底面為S，則每個側(cè)面積為S，有4Sr＝SAH，∴r＝AH＝a,設外接球心為O，半徑R，過A點作球的半徑交底面ΔBCD于H，則H為ΔBCD的外心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a(2Ra)＝(a)2.解得R＝a.：球的任意兩個大圓互相平分.證明：因為任意兩個大圓都過球心O，所以它們必交于過球心的直徑，這條直徑也是兩個大圓的公共直徑，所以任意兩個大圓互相平分.，.解： 如圖，設球的半徑為R，∵πO2B2＝49π， ∴O2B＝7同理 O1A＝20設OO1＝xcm，則OO2＝(x+9)cm.在RtΔOO1A中，可得R2＝x2+202在RtΔOO2B中，可得R2＝72+(x+9)2∴x2+202＝72+(x+9)2解方程得 x＝15cmR2＝x2+202＝252∴S球＝4πOA2＝2500π(cm2)431. 球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過3個點的小圓的周長為4π，那么這個球的半徑為( ) D. 解析： 設球半徑為R，小圓半徑為r，則2πr＝4π,∴r＝，設三點A、B、C，O為球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，又∵OA＝OB∴ΔAOB是等邊三角形同理，ΔBOC、ΔCOA都是等邊三角形，得ΔABC為等邊三角形.邊長等于球半徑R，r為ΔABC的外接圓半徑.r＝AB＝R R＝r＝2∴應選B.