小學奧數之排列組合問題(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環賽；第二階段：將8個小組產生的前2名共16人再分成個小組，每組人，分別進行單循環賽；第三階段：由4個小組產生的個第名進行場半決賽和場決賽，確定至名的名次．問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？【解析】 第一階段中，每個小組內部的個人每人要賽一場，組內賽場，共個小組，有場；第二階段中，每個小組內部人中每人賽一場，組內賽場，共個小組，有場；第三階段賽場．根據加法原理，整個賽程一共有場比賽。【例 13】 由數字1，2，3組成五位數，要求這五位數中1，2，3至少各出現一次，那么這樣的五位數共有________個。(2007年“迎春杯”高年級組決賽)【解析】 這是一道組合計數問題．由于題目中僅要求，至少各出現一次，沒有確定，出現的具體次數，所以可以采取分類枚舉的方法進行統計，也可以從反面想，從由組成的五位數中，去掉僅有個或個數字組成的五位數即可．(法1)分兩類：⑴，中恰有一個數字出現次，這樣的數有(個)；⑵，中有兩個數字各出現次，這樣的數有(個)．符合題意的五位數共有(個)．(法2)從反面想，由，組成的五位數共有個，由，中的某個數字組成的五位數共有個，由，中的某個數字組成的五位數共有個，所以符合題意的五位數共有(個)。【例 14】 個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】 (法1)乘法原理．按題意，分別站在每個人的立場上，當自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有種選擇，總共就有種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結果應該是()(種)．(法2)排除法．可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數為，而被選的兩個人相鄰的情況有種，所以共有(種)。【例 15】 8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇．小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數為：（種）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數為：（種）因此同時滿足三個條件的站法總數為：（種）。【例 16】 小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,?【解析】 我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個間隙中的某個位置插入“木棍”,則將lO塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： ○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不難知曉,每一種插入方法對應一種吃法,而9個間隙,每個間隙可以插人也可以不插入,且相互獨立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法。【鞏固】 小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？【解析】 分三種情況來考慮：⑴ 當小紅最多一天吃塊時，其余各每天吃塊，吃塊的這天可以是這七天里的任何一天，有種吃法；⑵ 當小紅最多一天吃塊時，必有一天吃塊，其余五天每天吃塊，先選吃塊的那天，有種選擇，再選吃塊的那天，有種選擇，由乘法原理，有種吃法；⑶ 當小紅最多一天吃塊時，必有三天每天吃塊，其四天每天吃塊，從天中選天，有(種)吃法。根據加法原理，小紅一共有(種)不同的吃法．還可以用擋板法來解這道題，塊糖有個空，選個空放擋板，有(種)不同的吃法。【鞏固】 把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分3個，可以有多少種不同的分法？【解析】 (法1)先給每人2個，還有14個蘋果，每人至少分一個，13個空插2個板，有種分法． (法2)也可以按分蘋果最多的人分的個數分類枚舉。【鞏固】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】 如圖：○○|○○○○|○○○○，將10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9個空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個空中畫兩條豎線，一共有種方法．【例 17】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個成人和個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，所以兒童不能乘坐船．⑴若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個兒童和個成人，個兒童有種選擇，個成人有種選擇，所以有種方法．故人都不乘坐船有種安全方法；⑵若這人中有人乘坐船，這個人必定是個成人，有種選擇．其余的個成人與個兒童，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法，所以此時有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，那么船上有個兒童和個成人，此時個兒童和個成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法．所以，共有種安全乘法．【例 18】 從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。【解析】 ⑴恰有名女生入選，說明男生有人入選，應為種；⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求．運用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：；⑶人必須入選，則從剩下的人中再選出另外人，有種；⑷從所有的選法種中減去這個人同時入選的種：．⑸分三類情況：人無人入選；人僅有人入選；人中有人入選，共：。【鞏固】 在6名內科醫生和4名外科醫生中，內科主任和外科主任各一名，現要組成5人醫療小組送醫下鄉，按照下列條件各有多少種選派方法？⑴ 有3名內科醫生和2名外科醫生；⑵ 既有內科醫生，又有外科醫生；⑶ 至少有一名主任參加；⑷ 既有主任，又有外科醫生。【解析】 ⑴ 先從名內科醫生中選名，有種選法；再從名外科醫生中選名， 共有種選