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小學奧數(shù)之排列組合問題-資料下載頁

2026-03-15 03:08本頁面

　　

【正文】 ②有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上； ③每三個點在A1所在三角形的一條邊對應的弧上．得到表3．共有123+36+1＝55種．所以當圓周上有12個點時，滿足題意的連法有55種。課后練習：練習1. 用排成四位數(shù)：（1）共有多少個四位數(shù)？（2）無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（3）無重復數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個？（4）2在3的左邊的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（5）2在千位上的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（6）5不在十位、個位上的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？【解析】 ⑴條件中未限制“無重復數(shù)字”，所以，數(shù)字可以重復出現(xiàn)，如等．依分步計數(shù)乘法原理共有（個）⑵（個）⑶個位上只能是或，有（個）⑷所有四位數(shù)中，在的左邊或在的右邊的數(shù)各占一半，共有（個）⑸在千位上，只有種方法，此后只能在另外的個位置上排列，有（個）⑹法一：不在十位、個位上，所以只能在千位上或百位上，有（個）法二：從中減去不合要求的（在十位上、個位上），有（個）。練習2. 如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長度依次為5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求圖中長方形的個數(shù)，以及所有長方形面積的和。【解析】利用長方形的計數(shù)公式：橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個，所以有(4+3+2+1)（4+3+2+1）=100，這些長方形的面積和為：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=12486=10664。練習3. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？【解析】初看本題似乎覺得很好入手，比如可以按天數(shù)進行分類枚舉：1天吃完的有1種方法，這天吃10塊；2天吃完的有9種方法，10=1+9=2+8=……=9+1；當枚舉到3天吃完的時，情況就有點錯綜復雜了，叫人無所適從……所以我們必須換一種角度來思考．不妨從具體的例子入手來分析，比如這10塊糖分4天吃完：第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊．我們可以將10個“○”代表10粒糖，把10個“○”排成一排，“○”之間共有9個空位，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線(如下圖)．○○|○○○|○|○○○○ 比如上圖就表示“第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊．” 這樣一來，每一種吃糖的方法就對應著一種“在9個空位中插入若干個‘|’的方法”，要求有多少個不同的吃法，就是要求在這9個空位中插入若干個“|”的方法數(shù)。由于每個空位都有畫‘|’與“不畫‘|’兩種可能：每個空位都有畫“|”與不畫“|”兩種可能根據(jù)乘法原理，在這9個空位中畫若干個“|”的方法數(shù)有：，這也就說明吃完10顆糖共有512種不同的吃法。練習4. 用3根等長的火柴可以擺成一個等邊三角形．，那么一共要用多少根火柴?【解析】把大的等邊三角形分為“20”層分別計算火柴的根數(shù)：最上一層只用了3根火柴；從上向下數(shù)第二層用了32=6根；從上向下數(shù)第二層用了33=9根；……從上向下數(shù)第二層用了320=60根；所以總共要用火柴3（1+2+3+……+20）=630。月測備選【備選1】書架上有本故事書，本作文選和本漫畫書，全部豎起來排成一排。⑴ 如果同類的書不分開，一共有多少種排法？⑵ 如果同類的書可以分開，一共有多種排法？【解析】 ⑴ 可以分三步來排：先排故事書，有(種)排法；再排作文選，有(種)排法；最后排漫畫書有種排法，而排故事書、作文選、漫畫書的先后順序也可以相互交換，排列的先后順序有(種)．故由乘法原理，一共有種排法．⑵ 可以看成(本)書隨意排，一共有(種)排法．若同類書不分開，共有種排法；若同類書可以分開，共有種排法．【備選2】8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法？【解析】人的環(huán)狀排列與線狀排列的不同之處在于：、…、在線狀排列里是個不同的排列，而在環(huán)狀排列中是相同的排列．所以，個不同的元素的環(huán)狀排列數(shù)為．甲、乙兩人必須相鄰，可把他們看作是1人（當然，他們之間還有順序），總排列數(shù)為．從中扣除甲、乙相鄰且乙、丙也相鄰（注意，這和甲、乙、丙三人相鄰是不同的．如甲在乙、丙之間合于后者，但不合于前者）的情況種．所以，符合題意的排法有（種）．【備選3】一共有赤、橙、黃、綠、青、藍、紫七種顏色的燈各一盞，按照下列條件把燈串成一串，有多少種不同的串法？⑴ 把盞燈都串起來，其中紫燈不排在第一位，也不排在第七位．⑵ 串起其中盞燈，紫燈不排在第一位，也不排在第四位．【解析】 ⑴ 可以先考慮紫燈的位置，除去第一位和第七位外，有種選擇；然后把剩下的盞燈隨意排，是一個全排列問題，有(種)排法．由乘法原理，一共有(種)．⑵ 先安排第一盞和第四盞燈．第一盞燈不是紫燈，有種選擇；第四盞燈有種選擇；剩下的盞燈中隨意選出盞排列，有(種)選擇．由乘法原理，有(種)。【備選4】在中任意取出兩個不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？【解析】兩個數(shù)的和是偶數(shù)，通過前面剛剛學過的奇偶分析法，這兩個數(shù)必然同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，而取出的兩個數(shù)與順序無關(guān)，所以是組合問題．從個偶數(shù)中取出個，有(種)取法；從個奇數(shù)中取出個，也有(種)取法．根據(jù)加法原理，一共有(種)不同的取法．【備選5】如圖所示，用長短相同的火柴棍擺成31996的方格網(wǎng)，其中每個小方格的邊都由一根火柴棍組成，那么一共需用多少根火柴棍?【解析】橫放需19964根，豎放需19973根共需19964+19973=13975根。1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。你必須努力，當有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學習參考

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