靜電場和穩恒電場(2)(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 1） 電場中某點的電勢，等于將單位正電荷從該點移至 電勢為零的參考點的過程中，電場力做的功。 選擇電勢零點的原則是： 當零點選好之后，場中各點必須有確定值。 ★ 一個系統只能取一個零電勢點。 ★ 當帶電導體接地時，也可以地球為零電勢點。 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 51 電勢差 2）用電勢差表示電場力的功 dUqdA 0??★ 即電場力的功等于電勢能增量的負值。 1）電勢差 baab UUU ?? ? ? ???? 0 0UaUb ldEldE???? ? ?? ba lE??? ?? baab ldEqA ??0 )(0 ba UUq ??abab UqA 0? )( ab UUq ??? )( ab WW ???★ 將電荷 q0由 a移至 b點的過程中，電場力的功等于 q0與這兩點的電勢差的乘積。 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 52 電勢的計算 點電荷電場的電勢 200144p prqqU E d l d rrr? ? ? ???? ? ? ???1） 點電荷系的電勢 02110044inniiiirii iiqqr d rrr? ? ? ????? ? ????021 0()4inipipri iqU E d l r d lr?????? ? ? ????設 0??U設 0??U電勢疊加原理 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 53 2）有限大小連續帶電體的電勢 rdqdU04???04VVdqU d Ur??????取 時 0??U首 頁 上 頁 下 頁 退 出 54 例 求電偶極子電場中任一點的電勢 .電偶極子的電矩 p＝ ql. 0 0 04 4 4rrq q qUr r r r? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ?所以 解 如圖 ，取 ＝ 0，則對任一場點 P，其電勢 U?因為 rl2c o s c o s22c o sllr r r rr r l r r r?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?， ，2200c o s c o s44q l pUrr??? ? ? ???得 式中 θ 為電偶極子中心 O與場點 P的連線和電偶極子軸的夾角，如圖所示 . 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 55 例 求均勻帶電球面的電場中電勢的分布 .設球面半徑為 R，總電量為 q. 解：根據高斯定理求出電場的分布 r R E１ ＝ 0 r R 202 4 rqE????? ?? ap rdEU ??設 ∞處的 U∞＝ 0時 2q44p rqU d rrr?? ? ? ??????r＞ R時 2000 44RprRqqU d r d rrR? ? ? ??? ? ???r＜ R時 RqUp??? ??r＝ R時 r1PR2Poq首 頁 上 頁 下 頁 退 出 56 等勢面 等勢面的定義 等勢面性質 00 ??? dUqdA★ 電場強度方向與等勢面正交，即電力線與等勢面正交 ,電場強度的方向為電勢降落的方向。 電場中電勢相等的各點構成的曲面。 ★ 電荷在等勢面上移動，電場力不做功 1U 2U3UE?q?0qld?ldEqdA ?? ?? 0 0c o s0 ?? ?ldEq ?0c o s ?? ? 090??167。 84 場強與電勢的關系 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 57 ★ 等勢面的疏密度可直觀地描述電場中場的強弱，（規定使任意相鄰的兩等勢面之間的電勢差相等）。 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 58 場強與電勢梯度的關系 1）數學中梯度的概念 ( , , ) U U Ug r a d U x y z i j kx y z? ? ?? ? ?? ? ?引入算符 （直角坐標系） kzjyix ??? ?????? ????則上式可簡化中 電勢梯度的概念 比如在直角坐標系中，函數 U（ x、 y、 z） 的梯度為 在空間某點，函數 ?的 梯度是一個矢量，梯度的方向沿著通過該點的等值面的法線方向、而且指向 ?值增加的一方； 梯度的量值反映了 ?值沿其 梯度方向的增加率。 ? ?,g r a dU x y z U??首 頁 上 頁 下 頁 退 出 59 2）電勢梯度 電勢沿任一方向的變化率 lU??電勢沿等勢面切線方向的變化率 0???? U電勢沿等勢面的法線方向的變化率 nU??0nnUg r a d U ?????由圖可看出，這個方向的變化率最大（最快） UUU ?? E?q?nd?ld???d0n?0n?為 法線方向單位矢量，指向電勢升高方向。 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 60 場強與電勢梯度的關系 00()abA q U U q dU? ? ? ?00 c o sA q E d l q E d l ?? ? ??co sEE l ?設 E 在 l 方向上的分量 dUqdlEq l ?? ??UUU ?? E?q?nd?ld???d0n?a b?0q 在兩等勢面之間從 運動到 時電場力所做的功為 0q a b另一方面 所以 dldUEl ??得 即：電場強度任一方向的分量等于電勢沿該方向的微商的負值。 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 61 ∵ 電場強度 E的方向垂直于等勢面， 對于等勢面的法線方向，有 0nnUEn??????nEE?? ??0nnUEEn????????即有 Ug r a d UE ??????或 說明 1) 電場中任一點的場強等于該點電勢梯度的負值； 2) “－ ” 號說明場強方向總是指向電勢減少的方向。 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 62 )( kzUjyUixUE?????????? ????xUEx ????yUEy ????zUEz ????3) 在直角坐標系中 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 63 例 利用場強與電勢梯度的關系，求半徑為 R，面電荷密度為 σ 的均勻帶電圓盤軸線上的場強 . 則圓盤在 P點產生的電勢為 22 2 1 / 204 ( )drdUrx??????22 2 1 / 2004 ( )R drU d Urx???????2 2 2 2000[ ] [ ]22 Rr x R x x????? ? ? ? ?解 如圖 ，取圓環 dS＝ 2πrdr ，圓環上帶電量 ，電荷 dq在軸線上距離盤中心為 x的 P點產生的電勢為 22d q rd r d r? ? ????首 頁 上 頁 下 頁 退 出 64 所以 P點場強為 220( 1 )2x UxE xRx???? ? ? ?? ?0y UE y?? ? ??0z UE z?? ? ??即軸線上一點的場強為 220( 1 )2 xEiRx???? ?首 頁 上 頁 下 頁 退 出 65 導體的靜電平衡 ????? 晶格的離子實形成金屬骨架的帶正電由電子游移在整個金屬中的自 無外場時，整個金屬的電量代數和為零，呈電中性，這時電子只是作無規則的熱運動。 167。 85 靜電場中的導體 １、金屬導體的電結構 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 66 0E?0E?/E?靜電感應 當把導體引入場強為 E0的外場后，導體中的自由電子就在外電場的作用下，沿著與場強方向相反的方向運動，從而引起導體內部電荷的重新分布現象，這就是 靜電感應 。 因靜電感應而出現的電荷稱 感應電荷 。 EEE ??? ??? 0式中 E/是感應電荷所產生的附加場。 導體內部的場 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 67 （ i） 導體內部任一點的場強為零： 00/ ??? EEE ??? 內(ii) 導體表面上任一點的場強方向與該處表面垂直。 （２）導體靜電平衡的條件： + + + + + 表E? 處于外電場中的導體，其電子同時受到外場和附加場的作用力，開始時外場力大于附加場的力，電子作定向移動。當這兩種作用力達到平衡時，電子的定向移動就停止了、即達到靜電平衡。對于良好導體，這一過程大約只需 1014秒。 導體靜電平衡及其條件 （ 1）靜電平衡： 在導體內部及表面各處都沒有電荷作宏觀定向運動的狀態（這一定義對荷電導體亦成立）。 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 68 導體在靜電平衡時的性質 0??? ? QppQ rdEU ??0?內E??∴ 導體內部 任意 P， Q 兩點電勢差為零 ∵ 在 導體表面 0??E? 嚴格說來， U內 ≠ U表 ，二值之差構成了金屬電子逸出金屬表面需要逸出功的原因。 PQ即 ： U內 = 常數 0??? dldUE l即 故 U表 = 常數 0?????? 內內內 Ug r a d UE?或（ 1）導體是等勢體，導體表面是等勢面 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 69 2）導體內部無凈電荷，電荷只分布在導體的外表面 在導體內部任取一閉合高斯面 Ｓ 當 S?0時，導體內任一點 凈電荷密度為零。 若導體內部有不帶電的空腔，則取如左圖的高斯面，因高斯面上任一點的場強為零，則可證明：在空腔內表面無凈電荷。 S + + + + + + + + + 0??? ?? qSdES??0???? VdV 0?首 頁 上 頁 下 頁 退 出 70 ＋ qq?q?＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 導體內部有空腔、空腔內有帶電體 q時，空腔內表面感應電荷為 q，導體外表面感應電荷為 q。 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 71 一般說，在導體的向外突出部位的曲率越大，面密度 ?也越大。 由此可知，對于孤立球形導體，由于其表面曲率處處相等， 因而其荷電時，電荷一定是均勻分布在其外表面的。 + + + + + + + + 顯然，荷電導體不是處于孤立狀態，無此結論。 3)對于孤立導體，其電荷面密度與該表面處的曲率有關 + + + + + + + + + 首 頁 上 頁 下 頁 退 出 72 ４ ) 在導體外，緊靠導體表面附近的場強與其電荷面密度關系 nE ??0???表 在 導體表面 任取一面元△ s，過表面作一扁柱形高斯面，使其母線與△ s垂直，上、下底面△ s 1， △ s 2與表面平行 ,設面電荷密度為 ? ＝０內E?n?n? n?S?2S?1S?3S?sdEsdEsdE ss se ?????? ?????? ?? ? ?? ?31 2 321? △ s面上 σ 均勻， E1=常矢 ，且垂直于導體表面，又 E內 ＝０ ?? ?? 1 1se sdE ???0????表E nE??0???表0?? s??sE ?? 1表E?首 頁 上 頁 下 頁 退 出 73 注意：若電場中不止一個導體，則上式對各導體每一表面都成立。 而 E是所有導體表面的全部電荷的貢獻。 當某些導體表面電荷發生變化時，各導體表面電場隨之變化；但變化后 E與面電荷密度的關系保持不變。 首 頁 上 頁 下 頁