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江西專用20xx中考數(shù)學總復(fù)習第一部分教材同步復(fù)習第三章函數(shù)第13講二次函數(shù)的綜合與應(yīng)用課件(編輯修改稿)

2026-07-09 19:17 本頁面

　

【文章內(nèi)容簡介】 M（ 0， m）為中心，作該拋物線關(guān)于點 M對稱的拋物線 y′ ，則我們又稱拋物線 y′為拋物線 y的 “ 衍生拋物線 ” ，點 M為 “ 衍生中心 ” ． ? （ 2）已知拋物線 y＝－ x2－ 2x＋ 5關(guān)于點（ 0， m）的衍生拋物線為 y′ ，若這兩條拋物線有交點，求 m的取值范圍． ? 問題解決： ? （ 3）已知拋物線 y＝ ax2＋ 2ax－ b（ a≠0 ）． ? ①若拋物線 y的衍生拋物線為 y′ ＝ bx2－ 2bx＋ a2（ b≠0 ），兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求 a， b的值及衍生中心的坐標； ? ②若拋物線 y關(guān)于點（ 0， k＋ 12）的衍生拋物線為 y1，其頂點為 A1；關(guān)于點（ 0， k＋ 22）的衍生拋物線為 y2，其頂點為 A2； … ；關(guān)于點（ 0， k＋n2）的衍生拋物線為 yn，其頂點為 An， … ；（ n為正整數(shù)）．求 AnAn＋ 1的長（用含 n的式子表示）．解：（ 1 ） ∵ 拋物線 y ＝－ x2＋ b x － 3 經(jīng)過點（－ 1 ， 0 ）， ∴ － 1 － b － 3 ＝ 0 ， ∴ b ＝－ 4 ， ∴ 拋物線解析式為 y ＝－ x2－ 4 x － 3 ＝－（ x ＋ 2 ）2＋ 1 ， ∴ 拋物線的頂點坐標為（－ 2 ， 1 ）， ∴ 拋物線的頂點坐標（－ 2 ， 1 ）關(guān)于（ 0 ， 1 ）的對稱點為（ 2 ， 1 ），即：新拋物線的頂點坐標為（ 2 ， 1 ），令原拋物線的 x ＝ 0 ， ∴ y ＝－ 3 ， ∴ （ 0 ，－ 3 ）關(guān)于點（ 0 ， 1 ）的對稱點坐標為（ 0 ， 5 ），設(shè)新拋物線的解析式為 y ＝ a （ x － 2 ）2＋ 1 ， ∵ 點（ 0 ， 5 ）在新拋物線上， ∴ 5 ＝ a （ 0 － 2 ）2＋ 1 ， ∴ a ＝ 1 ， ∴ 新拋物線解析式為 y ＝（ x － 2 ）2＋ 1 ＝ x2－ 4 x ＋ 5 ．（ 2 ） ∵ 拋物線 y ＝－ x2－ 2 x ＋ 5 ＝－（ x ＋ 1 ）2＋ 6 ① ， ∴ 拋物線的頂點坐標為（－1 ， 6 ），拋物線上取點（ 0 ， 5 ）， ∴ 點（－ 1 ， 6 ）和（ 0 ， 5 ）關(guān)于點（ 0 ， m ）的對稱點為（ 1 ， 2 m － 6 ）和（ 0 ， 2 m － 5 ），設(shè)衍生拋物線為 y ′ ＝ a （ x － 1 ）2＋ 2 m － 6 ， ∴ 2 m － 5 ＝ a ＋ 2 m － 6 ， ∴ a ＝ 1 ， ∴ 衍生拋物線為 y ′ ＝（ x － 1 ）2＋ 2 m － 6 ＝ x2－ 2 x ＋ 2 m － 5 ② ，聯(lián)立 ①② 得， x2－ 2 x ＋ 2 m － 5 ＝－ x2－ 2 x ＋ 5 ，整理得， 2 x2＝ 10 － 2 m ， ∵ 這兩條拋物線有交點， ∴ 10 － 2 m ≥ 0 ， ∴ m ≤ 5 ．（ 3 ） ① 拋物線 y ＝ a x2＋ 2 a x － b ＝ a （ x ＋ 1 ）2－ a － b ， ∴ 此拋物線的頂點坐標為（－ 1 ，－ a － b ）． ∵ 拋物線 y 的衍生拋物線為 y ′ ＝ b x2－ 2 b x ＋ a2＝ b （ x － 1 ）2＋ a2－ b ， ∴ 此函數(shù)的頂點坐標為（ 1 ， a2－ b ）， ∵ 兩個拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點， ∴????? b ＋ 2 b ＋ a2＝－ a － b ，a ＋ 2 a － b ＝ a2－ b ， ∴ a ＝ 0 （舍）或 a ＝ 3 ， ∴ b ＝－ 3 ， ∴ 拋物線 y 的頂點坐標為（－ 1 ， 0 ），拋物線 y 的衍生拋物線的頂點坐標為（ 1 ，12 ）， ∴ 兩拋物線的衍生中心的坐標為（ 0 ， 6 ）． ②∵ y ＝ a x2＋ 2 a x － b ＝ a （ x ＋ 1 ）2－ a － b ， ∴ y1＝－ a （ x － 1 ）2＋ 2 k ＋ 2 12＋ a ＋ b ，頂點 A1為（ 1 ， 2 k ＋ 2 12＋ a ＋ b ）， y2＝－ a （ x － 1 ）2＋ 2 k ＋ 2 22＋ a ＋ b ，頂點 A2為（ 1 ， 2 k ＋ 2 22＋ a ＋ b ）， ? ，以此類推， yn＝－ a （ x － 1 ）2＋ 2 k ＋ 2 n2＋ a ＋ b ，頂點 An為（ 1 ， 2 k ＋ 2 n2＋ a ＋ b ）， yn ＋ 1＝－ a （ x － 1 ）2＋ 2 k ＋ 2 （ n ＋ 1 ）2＋ a ＋ b ，頂點 An ＋ 1為（ 1 ， 2 k ＋ 2 （ n ＋ 1 ）2＋ a ＋ b ）， ∴ AnAn ＋ 1＝ [2 k ＋ 2 （ n ＋ 1 ）2＋ a ＋ b ] －（ 2 k ＋ 2 n2＋ a ＋ b ）＝ 4 n ＋ 2 ． 5 ．（ 2022 江西 24 題 12 分）如圖 1 ，拋物線 y ＝ a x2＋ b x ＋ c （ a 0 ）的頂點為 M ，直線 y ＝ m 與 x 軸平行，且與拋物線交于點 A ， B ，若 △ AMB 為等腰直角三角形，我們把拋物線上 A ， B 兩點之間的部分與線段 AB 圍成的圖形稱為該拋物線對應(yīng)的準蝶形，線段 AB 稱為碟寬，頂點 M 稱為碟頂，點 M 到線段 AB 的距離稱為碟高．（ 1 ）拋物線 y ＝12x2對應(yīng)的碟寬為 ____ ____ ；拋物線 y ＝ 4 x2對應(yīng)的碟寬為____ ____ ；拋物線 y ＝ a x2（ a 0 ）對應(yīng)的碟寬為 ____ ____ ；拋物線 y ＝ a （ x － 2 ）2＋ 3（ a 0 ）對應(yīng)的碟寬為 ____ ____ ； 4 12 2a 2a （ 2 ）拋物線 y ＝ a x2－ 4 a x －53（ a 0 ）對應(yīng)的碟寬為 6 ，且在 x 軸上，求 a 的值；（ 3 ）將拋物線 y ＝ anx2＋ bnx ＋ cn（ an0 ）的對應(yīng)準蝶形記為 Fn（ n ＝ 1 ， 2 ， 3 ? ），定義 F1， F2， ? ， Fn為相似準蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比．若 Fn與 Fn － 1的相似比為12，且 Fn的碟頂是 Fn － 1的碟寬的中點，現(xiàn)將（ 2 ）中求得的拋物線記為 y1，其對應(yīng)的準碟形記為 F1 ． ① 求拋物線 y2的表達式； ② 若 F 1 的碟高為 h 1 ， F 2 的碟高為 h 2 ， ? ， F n 的碟高為 h n ，則 h n ＝ __ __ ____ ，F(xiàn) n 的碟寬右端點橫坐標為 ____ __ _ ____ ； F 1 ， F 2 ， ? ， F n 的碟寬右端點是否在一條直線上？若是，直接寫出該直線的表達式；若不是，請說明理由． 32 n－ 1 2＋ 32 n－ 1 解：（ 1 ） 4 ；12；2a；2a. 分析如下： ∵ a 0 ， ∴ y ＝ a x2的圖象大致如答圖 1 ，其必過原點 O ，記 AB 為其碟寬， AB 與 y 軸

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