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空間向量在立體幾何中的應用(編輯修改稿)

2026-07-22 00:21 本頁面

　

【文章內容簡介】題在立體幾何中，涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等．關于角的計算，均可歸結為兩個向量的夾角．(1)求兩異面直線a、b的夾角θ，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos θ＝|cos〈a，b〉|.(2)求直線l與平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n與直線l的方向向量a的夾角．則sin θ＝|cos〈n，a〉|.(3)求二面角α173。l173。β的大小θ，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，則θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．1個易錯點——利用平面法向量求二面角的易錯點利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時，要根據向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等(一個平面的法向量指向二面角的內部，另一個平面的法向量指向二面角的外部)，還是互補(兩個法向量同時指向二面角的內部或外部)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點. 答題模板——空間向量在立體幾何中的應用[典例]　(2012安徽高考滿分12分)平面圖形ABB1A1C1C如圖①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，現將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使△ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接A1A，A1B，A1C，得到如圖②所示的空間圖形．對此空間圖形解答下列問題．(1)證明：AA1⊥BC；(2)求AA1的長；(3)求二面角A173。BC173。A1的余弦值．[快速規范審題]1．審條件，挖解題信息觀察條件：四邊形BB1C1C是矩形，面ABC⊥面BB1C1C，面A1B1C1⊥面BB1C1CDD1，B1D1，A1D1兩兩垂直．2．審結論，明確解題方向觀察結論：(1)證明：AA1⊥BC，(2)求AA1的長，(3)求二面角A－BC－A1的余弦值轉化為向量運算解決．3．建聯系，找解題突破口D1D，D1B1，D1A1兩兩垂直，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝建立空間直角坐標系(1)證明＝0，(2)計算AA1＝||，(3)求平面法向量的夾角―→得相應結論．[準確規范答題]坐標系建立不當，不能準確地推證AD∥A1D1，導致點A的坐標求錯. (1)證明：取BC，B1C1的中點分別為D和D1，連接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C為矩形知，DD1⊥B1C1.因為平面BB1C1C⊥平面A1B1C1，所以DD1⊥平面A1B1C1.?(1分)又由A1B1＝A1C1知，A1D1⊥B1C1.?(2分)故以D1為坐標原點，可建立如圖所示的空間直角坐標系D1－xyz.?(3分)由題設，可得A1D1＝2，AD＝1.由以上可知AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，于是AD∥A1D1.?(4分)所以A(0，－1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(－1,0,4)，D(0,0，4)，故＝(0,3，－4)，＝(－2,0,0)，＝0，?(5分)因此⊥，即AA1⊥BC.?(6分)求出cos〈n1，n2〉＝后，不判斷二面角大小直接得出結論從而失誤.(2)因為＝(0,3，－4)，所以||＝5，即AA1＝5.?(8分)(3)設平面A1BC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，又因為＝(－1，－2,4)，＝(1，－2,4)，?(9分)所以?(10分)即?令z1＝1，則n1＝(0,2,1)．又因為平面ABC⊥z軸，所以取平面ABC的法向量為n2＝(0,0,1)，不注意條件“z軸⊥平面ABC”的應用，增大運算量.則cos〈n1，n2〉＝＝＝，?(11分)所以二面角A－BC－A1的余弦值為－.?(12分)[答題模板速成]利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟：第一步　理清題意利用條件分析問題，建立恰當的空間直角坐標系?第二步　確定相關點的坐標結合建系過程與圖形，準確地寫出相關點的坐標?第三步　確立平面的法向量利用點的坐標求出相關直線的方向向量和平面的法向量，若已知某直線垂直某平面，可直接取直線的一個方向向量為該平面的法向量?第四步　轉化為向量運算將空間位置關系轉化為向量關系，空間角轉化為向量的夾角問題去論證，求解?第五步　問題還原結合條件與圖形，作出結論(注意角的范圍)?第六步　反思回顧回顧檢查建系過程、坐標是否有錯及是否忽視了所求角的范圍而寫錯結論一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60176。，∠BAC＝90176。，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90176。.(1)證明：平面ADB⊥平面BDC；(2)設E為BC的中點，求與夾角的余弦值．解：(1)證明：∵折起前AD是BC邊上的高，∴當△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由∠BDC＝90176。及(1)知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設|DB|＝1，以D為坐標原點，以，的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E，∴＝，＝(1,0,0)，∴與夾角的余弦值為cos〈，〉＝＝＝.2．(2013孝感模擬)如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分別為PC、PD、BC的中點．(1)求證：PA⊥EF；(2)求二面角D－FG－E的余弦值．解：(1)證明：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，則D(0,0,0)，A(0,2,0)，C(－2,0,0)，P(0,0,2)，E(－1,0，1)，F(0,0,1)，G(－2,1,0

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