第三章-彈塑性斷裂力學(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 到呈藍色，然后冷卻。壓斷試樣后，斷口如上圖所示。由于預(yù)制疲勞裂紋的表面光滑，氧化膜顏色較淺，而試驗中，裂紋擴展的表面比較粗糙，氧化膜顏色較深，故通過金相顯微鏡觀察很容易測出裂紋的擴展量。當觀察到的裂紋擴展量似乎為零或由不同的擴展量外推到零點對應(yīng)于啟裂點。 第三節(jié) J積分理論 COD參量的測定方法簡單，但用它所得到的一些經(jīng)驗公式能有效地解決工程實際問題，在中、低強度鋼焊接結(jié)構(gòu)和壓力容器斷裂分析中得到廣泛的應(yīng)用，但它不是一個直接而嚴密的裂紋尖端彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場的表征參量。 因此， Rice于 1968年提出了 J積分的概念。 J積分是一個定義明確，理論嚴密的應(yīng)力應(yīng)變場，又容易通過實驗來測定。 J積分的概念已用于發(fā)電工業(yè)，特別是核動力裝置中材料的斷裂準則。 （ 1） J積分的回路積分定義及其守恒性 (a) J積分的回路積分定義 對二維問題， Rice提出 J積分的回路積分由下述表達式來定義： 式中， Γ為圍繞裂紋尖端任一反時針回路，起始端位于裂紋下表面，末端終于裂紋上表面； W為回路上任一點（ x， y）的應(yīng)變能密度 ； Ti為回路上任一點（ x， y）處的應(yīng)力分量； ui為回路上任一點（ x，y）處的位移分量； ds為回路上 Γ的弧元。 J積分是一個與積分回路無關(guān)的常數(shù)，即具有守恒性，即 J積分像線彈性問題中的 K因子一樣，反映了裂紋尖端的某種力學特性或應(yīng)力應(yīng)變場強度。 ? ?211 , 2ii uJ W dx T ds ix? ?? ?? ? ??? ????（ 1） ij ijWd???? （ b） J積分的守恒性 設(shè)分別有兩個積分回路 Γ和 Γ’， J積分的守恒性就意味著有下列恒等式： 如果取任一閉合回路 c，它由 Γ、 Γ’以及裂紋自由表面組成（即回路 ABDECA），又注意到在裂紋面 BD和 CA上， Ti=0和 dxz=0，以及 DEC與 Γ’的方向相反，閉合回路內(nèi)無裂紋或小孔，則式（ 2）恒等式可改寫為： （ 2） （ 3） 22iiiirruuW dx T ds W dx T dsxx ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ???2 2 21 1 10i i ii i iC u u uW dx T ds W dx T ds W dx T dsx x x???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 設(shè) n1， n2為弧元 ds的外法線 的方向余弦，即： Γ上微弧元的三角形體元的力的平衡條件 ： ** 式（ 3）左端第二項積分為： 利用格林公式： （ 5） （ 4） （ 6） n12c o s /n a d x d s?? 11s i n /n a d x d s? ? ? 1 1 1 1 2 1 22 1 2 1 2 2 2T n nT n n?????? ???? ?12n ds dx? 21n ds dx?? ? ? ?12121 1 11211 1 12 2 12 1 22 2111 2 1 211 1 12 2 12 1 22 21 1 1 1iiccccu uuT ds T ds T dsx x xuun n ds n n dsxxu u u un dx n dxx x x x? ? ? ?? ? ? ???? ??????? ? ????? ??? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???????（ 7） ? ?1 2 1 212cAQPPdx Qdx dx dxxx????? ? ???????? ?? 將式（ 7）的圍線積分化為面積分，整理后得： 平面問題不計體力時，有平衡微分方程： 又 ，代入式（ 8），則其右端積分號內(nèi)的前兩項為零，于是： （ 8） （ 9） 1 1 2 1 1 1 2 2 2 21 1 2 1 1 2 12 2 2 21 1 2 21 1 2 1 1 2 2 2 1 2221 2 1 211iicAu uuT d sx x x x x x xu u u ud x d xx x x xxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ??? ??? ?? ??11 121212 221200xxxx?????? ??? ??? ???? ?????? ?12 21??? 小應(yīng)變條件下的幾何關(guān)系為： 代入式（ 10）得： （ 10） （ 11） （ 12） 2 2 2 22 1 211 12 21 22 1 2221 1 2 1 2111 1 2 111 121 1 1 1 211221211+112212iiicAAuu u u uT ds dx dxx x x x xxxu u u ux x x x xxuuxxx? ? ? ???????? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?????????? ? ???????? ??????? ????2222 1 21 2 21211212jiijAjiuudx dxx x xuudx dxx x x?????????????? ???? ? ????? ??? ????? ????? ??????? ? ?????????1212jiijjiuu d x d xxx?????????????1211ijii ijcAuT d s d x d xxx?? ?? ???? ?? **式（ 3）左端的第一項積分，同樣應(yīng)用 Green積分變換則可得： 式中，應(yīng)變能密度 ，在全量理論單調(diào)加載下： 于是式（ 13）變?yōu)椋? 式（ 12）與式（ 15）相等，即證明了在滿足不計體力式（ 9），小應(yīng)變式（ 11）以及單調(diào)加載式（ 14）條件時， J積分的路徑無關(guān)性得到了嚴格的證明，即 J積分的回路積分具有守恒性。 （ 14） （ 13） （ 15） 2 1 2 1 211ijc A A ijWWW dx dx dx dx dxxx???????? ? ?? ?? ??ij ijWd????ijijW ??? ??2 1 21ijijcAW d x d x d xx?? ???? ?? （ 2） J積分與裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場 在線彈性情況下，裂紋尖端區(qū)域應(yīng)力應(yīng)變的漸近表達式為： 式中， ， 分別應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的角因子。由式（ 16）可見，裂紋尖端區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變場由 KI唯一確定，在裂紋尖端應(yīng)力、應(yīng)變都具有 的奇異性，KI正是這種奇異性強弱的反映。 在彈塑性情況下， Rice、 Rosengren、 Hutchinson對冪硬化材料根據(jù)塑性全量理論，證明了 J積分決定著裂尖彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場的強度，也具有奇導性，是描述裂尖彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場的有效參量。應(yīng)力應(yīng)變的漸近表達式為： （ 16） ? ? ? ?? ? ? ?,2,2Iij ijIij ijKrrKrr? ? ? ??? ? ? ???? ???????? ?ij?? ? ?ij??1/ r 式中， A為材料有關(guān)的常數(shù)， N是材料的冪硬指數(shù)，In是 N的函數(shù)（ ），當 0N1時，其誤差小于 2%， 與 為角因子，是 θ和 N的無量綱函數(shù)。 可以看出式（ 17）與（ 16）在形式上十分一致，其中 J與 KI相當。這表明在彈塑性狀態(tài)下，可以用 J作為參量建立斷裂準則： 其中， JIC是平面應(yīng)變條件下 J積分的臨界值。由于 J積分的守恒性只在簡單加載條件下才能成立，不允許有卸載，因此，不允許裂紋發(fā)生亞臨界擴展，斷裂準則為啟裂準則。 （ 17） ? ? ? ?? ? ? ?1111,NNNNij ijnNNNNij ijnJr A r NAIJr A r NAI? ? ? ?? ? ? ?? ??? ????? ?? ???? ? ??????? ????? ?1 0 . 3 0 . 1 3 4 . 8nI N N? ? ?? ?,ij r?? ? ?,ij r??（ 18） ICJJ? ** HRR奇異性 取裂紋尖端為圓心，半徑為 r的圓周作為積分回路 Γ，則 ， ， ，代入式（ 1）得：