線性代數-經管類-第一章-行列式(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 和 14 23 31 42 56 65a a a a a a 32 43 14 51 25 66a a a a a a?是否都是六階行列式中的項 . 解 下標的逆序數為 ? ?43 12 65 0 1 2 2 0 1 6t ? ? ? ? ? ? ?14 23 31 42 56 65a a a a a a所以 是六階行列式中的項 . 14 23 31 42 56 65a a a a a a 行標和列標的逆序數之和 ( 341526 ) ( 234156 ) 5 3 8tt ? ? ? ?32 43 14 51 25 66a a a a a a?所以 不是六階行列式中的項 . 32 43 14 51 25 66a a a a a a?1. 對換改變排列奇偶性． 2. 行列式的三種表示方法 三、小結 121212()12( 1 )nnnt p p pp p n pp p pD a a a???121212()12( 1 )nnnt p p pp p p np p pD a a a???1 2 1 21 1 2 21212( ) ( )( 1 ) nnnnnnt i i i t j j ji j i j i ji i ij j jD a a a??? ?167。 5 行列式的性質 一、行列式的性質 1 1 1 2122 1 2 212, nnn n n na a aaaaaaDa?行列式 稱為行列式 的 轉置行列式 . TD D若記 ，則 . d e t ( ) , d e t ( )Ti j i jD a D b?? i j j iba?記 性質 1 行列式與它的轉置行列式相等 ,即 . TDD?212211121 212nnnnTn naaaaaaDaa a?121212()12( 1 ) n nnt p p pTp p n pp p pD b b b???性質 1 行列式與它的轉置行列式相等 . 證明 根據行列式的定義，有 若記 ，則 d e t ( ) , d e t ( )Ti j i jD a D b??? ?, 1 , 2 , ,i j i jb a i j n??112122 1() 2( 1 ) nnnppt p p pp p ppna a a??? D?行列式中行與列具有同等的地位 ,行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立 . 性質 2 互換行列式的兩行（列） ,行列式變號 . 驗證 于是 1 7 56 6 23 5 81 7 53 5 86 6 2196?? 196?1 7 5 1 7 56 6 2 3 5 83 5 8 6 6 2??推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零 . 證明 互換相同的兩行，有 ，所以 . DD?? 0D?備注：交換第 i行（列）和第 j行（列），記作 . ()i j i jr r c c??性質 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數 ，等于用數 乘以此行列式 . 驗證 k k1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3,a a aD a a aa a a?我們以 三 階行列式為例 . 記 根據三階行列式的對角線法則，有 11 12 131 21 22 2331 32 33kka a aD a a aa a ak?備注：第 i行（列）乘以 ，記作 . k()iir k c k??11 12 131 21 22 2331 32 33kka a aD a a aa a ak?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )a a a a a a a a aa a a a a ak k kk k ka a a? ? ????1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a ak a????? ??? ? ???Dk?推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面． 備注：第 i行（列）提出公因子 ，記作 . k()iir k c k??2 1 2 2 2 3 2 4 2 1 2 2 2 3 2 43 1 3 2 3 3 3 41 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 231 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 21 3 21333 3 431141400a a a a akkk a ka a a a a a a aa a a a a a aa k a k a a a a aaaaa? ? ? ?驗證 我們以 4階行列式為例 . 性質 4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零． 性質 5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和 , 例如： 1 2 1 22 2 2 21 1 1 32 1 2 33 1 33 2 3 2 3aaD a aabababaa????則 1 1 1 3 1 1 1 32 1 2 3 2 1 2 33 1 3 31 2 1 22 2 2 23 2 33 1 32 3a a a aD a a aababaa a a a??12 1222 2211 1321 2331 332 32 3aaD a aabababaa????221 2 3131 2 322()13( 1 ) ()ppt p p pppp p pabaa?? ??1 2 3 1 2 31 3 1 31 2 3221 2 3( ) ( )13 22 13( 1 ) ( 1 )t p p p t p p pp p p pp p p p p pppa a aab a? ? ? ???11 13 11 1321 23 21 2331 33 31 312 1222 222 33 32aa abaabaa a a aaa baa a??驗證 我們以 三 階行列式為例 . 性質 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數然后加到另一列 (行 )對應的元素上去，行列式不變． 則 1 .DD?驗證 12221 1 1 32 1 2 33 1 332 3,aaD a aaaaaa?我們以 三 階行列式為例 . 記 11 12 131 21 221323332331 32 33a a aD a a akakakaa aa????備注：以數 乘第 j行（列）加到第 i行（列）上，記作 k( ) .i j i jr k r c k c??例１ 2101044614753124025973313211???????????D二、應用舉例 計算行列式常用方法：利用運算 把行列式化為 上三角形行列式，從而算得行列式的值． ijr k r?3? ?2101044614753124025973313211???????????D3? ?解 2101044614753124022022013211312?????????? rr2101044614753140202022013211?????????2101044614753124022022013211312?????????? rr? ?2???? ?3???12 2rr ?? ??? 4?42 rr ?2220020220140203512013211????????? 2220035120140202022013211?????????14 4rr ?13 3rr ?2220001000211003512013211????????34 rr ?2220020220211003512013211?????????23 rr ??? ?2???6000001000211003512013211????????? ?? ?? ?612 ?????45 4rr ? .12?6400001000211003512013211????????35 2rr ?4??例 2 計算 階行列式 nabbbbabbbbabbbbaD??????????解 ? ?? ?? ?? ? abbbnababbnabbabnabbbbna?????????1111?????????D將第 列都加到第一列得 n,3,2 ?? ?11( 1 ) 11b b ba b ba n b b a bb b a? ? ?? ?1( 1 )b b baba n b abab?? ? ? ??00? ? 1( 1 ) ( ) .na n b a b ?? ? ? ?例 3 設 11 1111 1 11 1110kk kkknn n k n n naaaaDc c b bc c b b?,)d e t (11111kkkkijaaaaaD?????? ,)d e t (11112nnnnijbbbbbD??????.21 DDD ?證明 證明 111 1110。kkk kkpD p ppp??對 作運算 ，把 化為下三角形行列式 1D ijr kr? 1D設為 對 作運算 ，把 化為下三角形行列式 2D ijc kc? 2D112 1110.nnn nkqD q qqp??設為 對 D 的前 k 行作運算 ，再對后 n 列作運算 ， 把 D 化為下三角形行列式 ,01