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線性代數(經管類)串講資料(編輯修改稿)

2026-06-19 03:57 本頁面

　

【文章內容簡介】為 2 則數 t=2 解：???????????????????????????????????????? ttttttt2103100121133100111121211 因秩為2??t，則 1考查解方程解的性質 1考查方陣特征值的求法 1）根據特征值的和等于方陣的跡，求方陣的特征值例：已知0??為矩陣????????????????222222220A的 2 重特征值，則 A的另一個特征值為。解：根據特征值的和等于方陣的跡，得： 4220 3321 ??????? ??? 2）根據特征值之積等于 |A|的值。例：設三階方陣 A的三個特征值為 3 則 |A+E|= 解：三階方陣的特征值為 3 則 A+E 的特征值為 4 24432| ?????? EA 1由二次型轉化為標準型，或由標準型轉化為二次型 1利用二次型正定的性質，求 R 的取值范圍例：二次型232221321 )2()1()1(),( xkxkxkxxxf ??????正定則數 k 的取值范圍為解：第一次先將二次型轉化為標準型 ?????????????200010001kkk 第二次列式 20)1)(1)(2(0)1)(1(01????????????????kkkkkkk 一般考查向量內積的性質：向量內積有以下基本性質：對于 TE 取的nRrRk ?? ,2, ??有： 1）對稱性),(),( ???? ? 2）線性性),(),(), ?????? kkk ?? (,(),( rrr ???? ? 它們可以合并為),(),(), rrkrk ??????? 例：設?與?的內積（8),2(2||||,2),( ?????? ????? a則內積）解：),(),2(),2( ???? ???? aa 8422),(),(2),(),(2???????????????????aa 三、計算題： 2本題主要考查行列式值的求法； [知識點一 ]常規解法 [知識點二 ]利用行列式的性質求解 2求方陣的可逆矩陣 [知識點一 ]利用公式|| *1 AAA ??求可逆矩陣 [知識點二 ]利用矩陣的初等變化求1?A 2考查知陣的運算其中包括可逆矩陣，轉置矩陣性質及運算律的考查 2求向量組的極大線性無關組 [知識點 ]利用矩陣的初等行變化求極大線性無關組， 2解方程組的解： [知識點一 ]解齊次線性方程組的解 [知識點二 ]解非齊次線性方程組的解 2求對角矩陣四、證明題：本大題主要考查線性相關與線性無關及其相關知識，例：設向量組21,??線性無關，證明向量組212211 , aaaa ???? ??也線性無關。其次考查矩陣的性質：如例：設 n 階矩陣 A滿足 A2=A證明 E2A可逆；且（ E2A） 1=E2A 第五部分必考題型分析一、求行列式的值近年來此題型為計算題第一題，歷年必考，一般多以技巧性解題為主，充分利用性質解答。例：計算四階行列式1200012010122001的值解：通過觀察，行列式的每列之和皆為 3 得： 1200112010121001332003120301230011200012010122001?? 15613123113120312001131201121011312001120101200013?????????????）（本題即充分利用性質解題，而非常規硬算，那樣計算量太大很難正確，利用性質計算量大大下降，且正確率也必然上升二、求方陣的可逆矩陣可逆適陣的求法是楞年必考題，多以計算大題形式出現，解此種類型題，主要是通過矩陣的初等交換求方陣的可逆矩陣例：設矩陣???????????? ?1111110100A，A 則。解：??????????????????????00101010011101100110001000111111100?????? ?????????? ????????????? ??00101111010100010010111011000001?????? ?????????? ??? ?0010111101A [解析 ]把原矩陣化為單位矩陣，同時單位矩陣按照其同樣的初等變化轉化為 A1 三、由矩陣性質及運算法則求矩陣 X 本題型也為歷年必考題型，多以大題出現，難度不大，但容易出錯，在解管過程中關鍵是要對運算細節的把握。例：已知??????????????????????? 21123243512 CBA X 滿足XCBAX 求?? 解： )(11 BCAAXA BCAX ??? ?? ??????????????????????????????????? 11113241215225131 BCA )(1 BCAX ??? ? ?????? ????????? ??????? ???381211112513 在本題中要特別留意)(11 BCAAxABCAx ????? ??其中 A1是左乘、位置一定要定位準確，這是關鍵之處，也集中表現出矩陣，行列式這塊內容的位置特性，且矩陣是矩陣行列式是行列式，行列式實質上是一個數，而矩陣則不然四、求向量組的極大線性無關組：求向量組的極大線性無關組其實與求向量組或矩陣的秩是同一個過程，都是首先通過矩陣的初等行變化，將其矩陣轉化為階梯形矩陣再求解：例：求向量組???????????????????????????????????????????????????????1222,1132,1123,13214321 ???? 的極大無關組并將其余向量由極大無關組線性表示解：以1?、4為列向量的矩作初等行變換有： ??????????????? ???????????????????????????????????? 1002137525200000011422351228430001122213211231321 ?????????????

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