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高一數學函數知識總結及例題(編輯修改稿)

2025-12-20 05:18 本頁面

　

【文章內容簡介】經過點Rmm ?? ),0,2( ，設 )()()()],([)( xfxpgxFxffxg ??? .問是否存在實數 )0( ?pp 使得)(xF 在區間 )]2(,( f?? 上是減函數，且在區間 )0),2((f 上是減函數？并證明你的結論。［解析］由已知 0)2( ??mf ，得 02)3(2 ????? amaam ，其中 .0, ?? aRm ∴ 0?? 即 0923 2 ??? aa ，解得 .3 7213 721 ???? a ∵ a 為負整數，∴ .1??a ∴ 1)2(34)2( 2 ????????? ? xxxxf ，即 .1)( 2 ??? xxf 2422 21)1()]([)( xxxxffxg ???????? ， ∴ .1)12()()()( 24 ??????? xppxxfxpgxF 假設存在實數 )0( ?pp ，使得 )(xF 滿足條件，設 21 xx? ， ∴ ].12)()[()()( 2221222121 ??????? pxxpxxxFxF ∵ 3)2( ??f ，當 )3,(, 21 ????xx 時， )(xF 為減函數， ∴ 0)()( 21 ?? xFxF ，∴ .012)(,0 22212221 ??????? pxxpxx ∵ 3,3 21 ???? xx ,∴ 182221 ??xx , ∴ 11612)( 2221 ??????? ppxxp , ∴ .0116 ??? p ① 當 )0,3(, 21 ??xx 時 , )(xF 增函數 ,∴ .0)()( 21 ?? xFxF ∵ 02221 ??xx ,∴ 11612)( 2221 ??????? ppxxp , ∴ 0116 ??? p . ② 由①、②可知 161??p ，故存在 .161??p （ 5）同步練習： 1．函數 y＝21log（ x2－ 3x＋ 2）的單調遞減區間是（） A．（－∞， 1） B．（ 2，＋∞） C．（－∞， 23 ） D．（ 23 ，＋∞）解析：先求函數定義域為（－ o， 1）∪（ 2，＋∞），令 t（ x）＝ x2＋ 3x＋ 2，函數 t（ x）在（－∞， 1）上單調遞減，在（ 2，＋∞）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數 y＝21log（ x2－ 3x＋ 2）在（ 2，＋∞）上單調遞減．答案： B 2 找出下列函數的單調區間 . （ 1） )1(232 ?? ??? aay xx ；（ 2） .2 322 ???? xxy 答案： (1)在 ]23,(??上是增函數，在 ),23[ ??上是減函數。（ 2）單調增區間是 ]1,1[? ，減區間是 ]3,1[ 。討論 )0,0(),1(lo g ???? aaay xa 且的單調性。答案： ,1?a 時 ),0( ?? 為增函數， 01 ??a 時， )0,(?? 為增函數。 4．求函數 y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的定義域、值域和單調區間．解：由 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4＞ 0，解得 x＞ 4 或 x＜ 1，所以 x∈（－∞， 1）∪（ 4，＋∞），當 x∈（－∞， 1）∪（ 4，＋∞），｛ ? ｜ ? ＝ x2－ 5x＋ 4｝＝ R＋，所以函數的值域是 R＋．因為函數 y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）是由 y＝31log? （ x）與 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 復合而成，函數 y＝31log? （ x）在其定義域上是單調遞減的，函數 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4在（－∞， 25 ）上為減函數，在［ 25 ，＋∞ ］上為增函數．考慮到函數的定義域及復合函數單調性， y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的增區間是定義域內使 y＝31log? （ x）為減函數、 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 也為減函數的區間，即（－∞， 1）； y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的減區間是定義域內使 y＝31log?（ x）為減函數、 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 為增函數的區間，即（ 4，＋∞）．變式練習一、選擇題 1．函數 f（ x）＝ )1(log21 －x的定義域是（） A．（ 1，＋∞） B．（ 2，＋∞） C．（－∞， 2） D． ]21(，解析：要保證真數大于 0，還要保證偶次根式下的式子大于等于 0，所以????? ? 0)1(log 0121 －＞－xx 解得 1＜ x≤ 2．答案： D 2．函數 y＝21log（ x2－ 3x＋ 2）的單調遞減區間是（） A．（－∞， 1） B．（ 2，＋∞） C．（－∞， 23 ） D．（ 23 ，＋∞）解析：先求函數定義域為（－ o， 1）∪（ 2，＋∞），令 t（ x）＝ x2＋ 3x＋ 2，函數 t（ x）在（－∞， 1）上單調遞減，在（ 2，＋∞）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數 y＝21log（ x2－ 3x＋ 2）在（ 2，＋∞）上單調遞減．答案： B 3．若 2lg （ x－ 2y）＝ lg x＋ lg y，則 xy 的值為（） A． 4 B． 1 或 41 C． 1 或 4 D． 41 錯解：由 2lg （ x－ 2y）＝ lg x＋ lg y，得（ x－ 2y） 2＝ xy，解得 x＝ 4

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