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第03講隨機決策理論與方法-1(編輯修改稿)

2026-03-18 19:38 本頁面

　

【文章內容簡介】函數內滿足效用存在公理？v 效用的公理化定義：在上述公理系統中，若展望空間上存在實值函數 u，有：? 對展望空間中的任意展望 P P2， P1P2 iff u(P1)u(P2)? u(?P1+(1?)P2)= ?u(P1)+(1?)u(P2) (復合展望的效用等于展望效用的復合 )? 對滿足上述條件的 u1, u2, 必有 u1(Pi)=bu2(Pi)+c, 其中 b, c∈ R1， b0。（任意兩個決策人的效用是線性相關的）決策理論與方法隨機決策理論與方法效用函數 — 基數性和序數性v 前述定義的效用是一種基數效用，不僅能夠反映決策者的偏好次序，還能夠反映決策者的偏好強度。v 但在實際決策中，有時只需要偏好次序而不一定需要知道偏好強度就可以決策。此時只需要序數效用就可以了。有關序數效用的應用在多屬性決策中介紹。v Hicks對效用函數的基數性和序數性的比喻：如果知道兩個人的身高，那么我們可以把高個兒排在第一位；如果不知道他倆的身高也沒關系，讓他們比一下就可以了。決策理論與方法隨機決策理論與方法效用函數 — 效用函數值的估計v 概率當量法 (Von Neumann, Menstern， NM法 )：設決策系統的自然狀態集 Θ={?1,…, ?n}、行動集 A={a1, …, am}、后果集 C={cij=c(ai,?j)}，最優后果為 c*=max {cij}，最劣后果為 c0=min {cij}。則對于任意后果 cij的效用值u(cij)，可按以下步驟獲得：? 設 u(c*)=1, u(c0)=0；? 建立簡單展望 p,c*。1p,c0， p可調? 反復向決策人提問，改變可調概率 p，使得當 p=pij時得到如下的無差異關系： cij~pij,c*。1pij,c0? 測得后果 cij的效用值為： u(cij)=pij*u(c*)+(1pij)*u(c0)=pij決策理論與方法隨機決策理論與方法效用函數 — 效用函數值的估計v 確定當量法（修正 NM法）：? 設 u(c*)=1, u(c0)=0；? 建立簡單展望 p,c*。1p,c0， p為 01間的給定值，如 p=? 反復向決策人提問，改變 cij得到如下的無差異關系：cij~p,c*。1p,c0? 測得后果 cij的效用值為： u(cij)=p*u(c*)+(1p)*u(c0)=pijv 增益當量法：已知 u(cij)和 u(c0)，確定 u(c*)的方法v 損失當量法：已知 u(cij)和 u(c*)，確定 u(c0)的方法決策理論與方法隨機決策理論與方法效用函數 — 效用函數的構造（離散型）v 看球的效用函數構造（不考慮經濟成本）1. 構建問題的決策樹，根據一般偏好，四種后果的優劣是 C2C3C4C1；2. 令 u(C1)=0, u(C2)=1；3. 詢問 1： “下雨看電視轉播 ”的后果與 “現場看球 ”時有多大的概率下雨被淋相當？ (例如：，則 u(C3)=)4. 詢問 2： “天晴看電視轉播 ”的后果與 “現場看球 ”時有多大的概率下雨被淋相當？ (例如：，則 u(C4)=)5. 一致性檢驗：用 C3， C4加上 C1(或 C2)進行校驗，直至一致性得到滿足。現場現場看球看球 a1電視電視看球看球 a2C4:天晴看電視天晴看電視C3:下雨沒被淋下雨沒被淋C2:天晴未被淋天晴未被淋C1:下雨被淋下雨被淋決策理論與方法隨機決策理論與方法效用函數 — 效用函數的構造（連續型）v 若后果是連續型，則可通過分析 u(c)的若干特征值，求出特征點的效用后再連成光滑曲線。v 例：試作出每天投入學習的時間 t對應的效用曲線。? 分析特征點： u(t=0)=0。 u(tTM)=0(TM=?)；狀態導入期（ 0～ t0），效用增加較慢；狀態穩定期 (t0～ t1)，效用與投入學習的時間基本成比例關系；效率下降，效用增加期 (t1~tm)，效用是投入學習的時間的單調增函數，但增長率小于狀態穩定期且隨著時間的增加越來越小，最終達到零 (t=tm)，此時效用達到最大；當投入的學習時間大于tm時，將會得不償失，學習效率急劇降低，效用減少。決策理論與方法隨機決策理論與方法效用函數 — 效用函數的構造（連續型）t0 t1 tm tM0 24U(t)Umaxt決策理論與方法隨機決策理論與方法效用函數 — 風險與效用v 風險：遇到破壞或損失的機會或危險。? “風險 ”：以打魚捕撈為生的漁民們在長期的捕撈實踐中，深深的體會到 “風 ”給他們帶來的無法預測無法確定的危險，他們認識到，在出海捕撈打魚的生活中， “風 ”即意味著 “險 ”，因此有了 “風險 ”一詞的由來。? 風險包含兩個方面的內容：一是后果的損失嚴重程度；二是損失出現的可能性大小。? 參考：決策理論與方法隨機決策理論與方法效用函數 — 風險與效用v 風險的度量? 方差：設某決策方案 a的后果為收益 y， y的概率密度函數為 f(y)，期望值為 E(y)，則方差可用來度量風險，方差越大風險越大。? 協方差：若期望收益為決策人設定的目標收益 c，則可用協方差度量風險。? 臨界概率：小于目標收益的概率。決策理論與方法隨機決策理論與方法效用函數 — 風險與效用v 效用與風險：效用反映的就是決策人對風險的一種態度。U(t)Umax=1C(萬元 )風險厭惡型風險中立型風險追求型0 9 14 25風險酬金 k決策理論與方法隨機決策理論與方法隨機決策理論與方法主觀概率效用函數決策準則貝葉斯決策分析決策理論與方法隨機決策理論與方法決策準

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