新人教a版高中數學選修2-222直接證明與間接證明同步測試題2套(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 11． 類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數， () 2xxaaSx ??? ，() 2xxaaCx ??? ，其中 0a? ，且 1a? ，下面正 確的運算公式是（ ） ① ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S x y S x C y C x S y? ? ?； ② ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S x y S x C y C x S y? ? ?； ③ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C x y C x C y S x S y? ? ?； ④ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C x y C x C y S x S y? ? ?； Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④ 答案：Ｄ 12．正整數按下表的規律排列 則上起第 2021 行，左起第 2021 列的數應為（ ） Ａ． 22021 Ｂ． 22021 Ｃ． 2021 2021? Ｄ． 2021 2021? 答案：Ｄ 二、填空題 13． 寫出用三段論證明 3( ) sin ( )f x x x x? ? ? R為奇函數的步驟是 ． 答案：滿足 ( ) ( )f x f x? ?? 的函數是奇函數， 大前提 3 3 3( ) ( ) sin ( ) sin ( sin ) ( )f x x x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 小前提 所以 3( ) sinf x x x?? 是奇函數． 結論 14．已知 1 1 1( ) 1 ( )23f n nn ?? ? ? ? ? ? N，用數學歸納法證明 (2 )2n nf ?時， 1(2 ) (2 )kkff? ? 等于 ． 答案：11 1 12 1 2 2 2k k k ?? ? ??? 15．由三角形的性質通過類比推理，得到四面體的如下性質：四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內切球的球心，那么原來三角形的性質為 ． 答案：三角形內角平分線交于一點，且這個點是三角形內切圓的圓心 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 16．下面是按照一定規律畫出的一列“樹型”圖： 設第 n 個圖有 na 個樹枝，則 1na? 與 ( 2)nan≥ 之間的關系是 ． 答案： 1 22nnaa? ?? 三、解答題 17．如圖（ 1），在三角形 ABC 中， AB AC? ，若 AD BC? ，則 2AB BD BC? ；若類比該命題，如圖（ 2），三棱錐 A BCD? 中， AD? 面 ABC ，若 A 點在三角形 BCD 所在 平面內的射影為 M ，則有 什么結論？命題是否是真命題． 解：命題是：三棱錐 A BCD? 中， AD? 面 ABC ，若 A 點在三角形 BCD 所在平面內的射影為 M ，則有 2 ABC BCM BCDS S S?△ △ △ 是一個真命題． 證明如下： 在圖（ 2）中，連結 DM ，并延長交 BC 于 E ，連結 AE ，則有 DE BC? ． 因為 AD? 面 ABC ，所以 AD AE? ． 又 AM DE? ，所以 2AE EM ED? ． 于是 22 1 1 12 2 2A B C B C M B C DS B C A E B C E M B C E D S S? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?△ △ △ ． 18．如圖，已知 PA? 矩形 ABCD 所在平面， MN， 分別是 AB PC， 的中點． 求證：（ 1） MN∥ 平面 PAD ；（ 2） MN CD? ． 證明：（ 1）取 PD 的中點 E ，連結 AE NE， ． NE，∵ 分別為 PC PD， 的中點． EN∴ 為 PCD△ 的中位線， 12EN CD ∥∴ ， 12AM AB? ，而 ABCD 為矩形， CD AB∴ ∥ ，且 CD AB? ． EN AM∴ ∥ ，且 EN AM? ． AENM∴ 為平行四邊形， MN AE∥ ，而 MN? 平面 PAC ， AE? 平面 PAD ， MN∴ ∥ 平面 PAD ． （ 2） PA?∵ 矩形 ABCD 所在平面， CD PA?∴ ，而 CD AD? ， PA 與 AD 是平面 PAD 內的兩條直 交直線， CD?∴ 平面 PAD ，而 AE? 平面 PAD ， AE CD?∴ ． 又 MN AE∵ ∥ ， MN CD?∴ ． 19．求證：當一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大． 證明：（分析法）設圓和正方形的周長為 l ，依題意，圓的面積為 2π2πl??????， 正方形的面積為 24l??????． 因此本題只需證明 22π2π 4ll? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?． [ 要證明上式，只需證明 222π4π 16ll?， 兩邊同乘以正數24l，得 11π 4?． 因此，只需證明 4π? ． ∵ 上式是成立的，所以 22π 2π 4ll? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?． 這就證明了如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么圓的面積比正 方形的面積最大 20．已知實數 a b c d， ， ， 滿足 1a b c d? ? ? ? ， 1ac bd??，求證 a b c d， ， ， 中至少有一個是負數． 證明：假設 a b c d， ， ， 都是非負實數，因為 1a b c d? ? ? ? ， 所以 a b c d， ， ， [01]?， ，所以2acac ac ?≤ ≤，2bcbd bd ?≤ ≤， 所以 122a c b dac bd ??? ? ?≤ ， 這與已知 1ac bd??相矛盾，所以原假設不成立，即證得 a b c d， ， ， 中至少有一個是負數． 21．設 () 2xxaafx ??? ， () 2xxaagx ??? （其中 0a? ，且 1a? ）． （ 1） 5 2 3?? 請你推測 (5)g 能否用 ( 2) (3 ) ( 2) (3 )f f g g， ， ，來表示； （ 2）如果（ 1）中獲得了一個結論，請你推測能否將其推廣． 解：（ 1）由 3 3 3 2 3 3 2 2 5 5( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 )2 2 2 2 1a a a a a a a a a af g g f ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ， 又 55(5)2aag ???， 因此