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不等式證明的若干種方法_畢業(yè)論文-資料下載頁

2025-08-20 18:40本頁面

【導(dǎo)讀】行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本設(shè)計的研。究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或沒有公開發(fā)表的作品內(nèi)容。本設(shè)計創(chuàng)作聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。誠信的不端行為。的證明則是不等式知識的重要組成部分。在初等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較法、綜合法、分析法、換元法、增。量代換法、反證法、放縮發(fā)、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法、判別式法等等。不等式、詹森不等式、施瓦茨不等式、赫爾德不等式等等。從而使不等式的證明方法更。加完善，有利于我們進一步探討和研究不等式的證明。考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

　　

【正文】式中等號不能同時成立，因此 abcbaccabcba 6)()()( 222222 ?????? ．故原不等式成立。例若 , 0, 2x y x y? ? ?，求證： 112xy??．證明： ? , 0,xy? ? 1 1 1 1 1( ) ( )2 xyx y x y? ? ? ?1 (1 1 ) 22 yxxy? ? ? ? ?．又 22 ???? yxxyyxxy ． 211 ??? yx ．當(dāng)且僅當(dāng)yxxy?，即 1, 1xy??時等號成立．故原不等式成立。 17 6 利用施瓦茨不等式證明施瓦茨不等式：若 f 和 g 在 ],[ ba 上可積，則 dxxgdxxfdxxgxf bababa )()())()(( 222 ??? ??．例證明：若 f 在 ],[ ba 上可積，則 dxxfabdxxf baba )()())(( 22 ?? ?? ．證明：根據(jù)施瓦茨不等式有： dxxfdxdxxfdxxf babababa )(1)1)(())(( 2222 ???? ???? dxxfab ba )()( 2??? ．所以 dxxfabdxxf baba )()())(( 22 ?? ?? ．故原不等式成立。 18 7 利用中值定理法證明不等式拉格朗日中值定理若函數(shù) f 滿足如下條件：（ 1） f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)（ 2） f 在開區(qū)間（ ba, ）內(nèi)可導(dǎo)，則在（ ba, ）內(nèi)至少存在一點 ? ，使得 ab afbff ??? )()()(39。 ? ．例證明： a ababb ab ???? ln ，其中 ba??0 ．證明：設(shè) ],[,ln)( baxxxf ?? ，顯然 )(xf 在 ],[ ba 上滿足拉格朗日中值定理的條件，且xxf 1)(39。 ? ，故 ),( ba??? ，使 ?? 1)(39。)()( ???? fab afbf ．即? abab ??? lnln ? abab ???ln而ab 111 ???，故有a ababb ab ????? ?．即 a ababb ab ???? ln ．故原不等式成立。積分第一中值定理若 f 在 ],[ ba 上連續(xù)，則至少存在一點 ],[ ba?? ，使得 ))(()( abfdxxfba ??? ?．例證明： edxex ??? 2101 ．證明： ?在 ]1,0[ 上， eeee x ???? 10 21 ，且函數(shù) 2xe 不恒等于 1 和 e ，所以有 ee dxdxedx x ???? ??? 101010 21 ? edxe x ??? 2101 ．故原不等式成立。 19 8 利用詹森不等式證明詹森不等式：若 f 為 ],[ ba 上凸函數(shù)，則對任意0],[ ?? ii bax ? 1),...,2,1(1 ?? ??ni ini ?，有 )()(11 ini iini i xfxf ?? ?? ? ??．例證明：不等式 cbacba cbaabc ???3)( ,其中 a ， b ， c 均為正數(shù) 證明：設(shè) xxxf ln)( ? ， 0?x ，由 )(xf 的一階和二階導(dǎo)數(shù) 1ln)(39。 ?? xxf ， xxf 1)(39。39。 ? 可見， xxxf ln)( ? 在 0?x 時為嚴(yán)格凸函數(shù)，依詹森不等式有： ))()()((31)3( cfbfafcbaf ????? ．從而 )lnlnln(313ln3 ccbbaacbacba ??????? ． cbacBacbacba ????????? )3ln (313ln3cbacba cbacbaccbbaa ln31)lnln( l n31)lnlnln(31 ?????? ．即 cbacba cbacba ??? ??)3( ，又因 33 cbaabc ??? ，再兩邊同乘以 cba ?? 次方得 cbacba cbaabc ???? ??? )3()( 3 ． cbacbacba cbacbaabc ????? ???? )3()( 3 所以 cbacba cbaabc ???3)( ．故原不等式成立。總之，不等式的證明方法有很多，我們應(yīng)該在教學(xué)和學(xué)習(xí)中努力將這些好的方法發(fā)揚光大，使我們的教學(xué)和學(xué)習(xí)更加輕松。 20 致謝踉踉蹌蹌地忙碌了兩個多月，我的畢業(yè)設(shè)計課題將告一段落了。我從中明白了做每一件事，不必過于在乎最終的結(jié)果，可貴的是在做事過程中的收獲。畢業(yè)設(shè)計，也許是我大學(xué)生涯交上的最后一個作業(yè)。我想借此機會感謝四年來給我?guī)椭乃欣蠋煛⑼瑢W(xué)、家人、親戚，和你們之間的友誼是我人生的財富，是我生命中不可或缺的一部分。我的畢業(yè)指導(dǎo)老師莎仁格日勒老師，她以一位長輩的風(fēng)范來容諒我的無知和沖動，給我不厭其煩的指導(dǎo)。在此，要特別向她道聲謝謝。大學(xué)生活即將過去，但我卻能無悔地說：“我曾經(jīng)來過。”大學(xué)四年，但它給我的影響卻不能用時間來衡量，這四年來，我經(jīng)歷過的所有事，結(jié)交的所有人，都將是我以后生活中回味一輩子的寶貴精神財富，也是日后我為人處事的指南針。就要離開學(xué)校，走上工作崗位了，這將是我人生歷程的又一個起點，在這里深深祝福大學(xué)里跟我風(fēng)雨同舟的朋友們，祝你們幸福。也祝愿學(xué)校的每一位師長都幸福快樂。 21 參考文獻 [1] 段志強 . 一個不等式的妙用 [J]. 數(shù)學(xué)通訊 , 2020,(17). [2] 佟成軍 . 一個不等式的加強及證明 [J]. 數(shù)學(xué)通訊 , 2020,(07). [3] 曾峰 . 一個不等式的證明及應(yīng)用 [J]. 中學(xué)課程輔導(dǎo) (初二版 ), 2020,(02). [4] 黃長風(fēng) . 聯(lián)想證明不等式 [J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究 , 2020,(03). [5] 李歆 . 不等式 abba 222 ?? 的幾個推論及應(yīng)用 [J]. 中學(xué)生數(shù)學(xué) , 2020,(05). [6] 方輝 . 淺談哥西不等式的應(yīng)用 [J]. 黃山學(xué)院學(xué)報 , 1997,(01). [7]高尚華 .數(shù)學(xué)分析 [J].高等教育出版社 .2020,(6).

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