【數學】高考數學計算試題分類匯編——圓錐曲線-資料下載頁

　　

【正文】 a b c、 、 分別為內角 A B C、 、 的對邊， 且 2 si n ( 2 ) si n ( 2 ) si na A b c B c b C? ? ? ? （ Ⅰ ） 求 A 的大小； （ Ⅱ ） 若 sin sin 1BC??，試判斷 ABC? 的形狀 . 解：（Ⅰ）由已知，根據正弦定理得 cbcbcba )2()2(2 2 ???? 即 bccba ??? 222 由余弦定理得 Abccba c o s2222 ??? 故 ???? 120,21c os AA （Ⅱ）由（Ⅰ）得 .s i ns i ns i ns i ns i n 222 CBCBA ??? 又 1sinsin ?? CB ，得 21sinsin ?? CB 因為 ???????? 900,900 CB ， 故 BC? 所以 ABC? 是等腰的鈍角三角形。 （ 2022 遼寧理數） （ 17）（本小題滿分 12 分） 在△ ABC 中， a, b, c 分別為內角 A, B, C 的對邊，且 2 si n ( 2 ) si n ( 2 ) si n .a A a c B c b C? ? ? ? （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）求 sin sinBC? 的最大值 . 解： （Ⅰ）由已知，根據正弦定理得 22 ( 2 ) ( 2 )a b c b c b c? ? ? ? 即 2 2 2a b c bc? ? ? 知識改變命運，學習成就未來 第 47 頁 共 63 頁 由余弦定理得 2 2 2 2 c osa b c bc A? ? ? 故 1cos 2A?? ， A=120176。 …… 6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得： s in s in s in s in ( 6 0 )B C B B? ? ? ? ? 31cos si n22si n( 60 )BBB??? ?? 故當 B=30176。 時， sinB+sinC 取得最大值 1。 …… 12 分 （ 2022 全國卷 2 文數 ） （ 17）（本小題滿分 10分） ABC 中， D 為邊 BC 上的一點， 33BD? ， 5sin 13B? ， 3cos 5ADC??， 求 AD 。 【解析】本題考查了同角三角函數的關系、正 弦定理與余弦定理的基礎知識。 由 ADC? 與 B? 的差求出 BAD? ，根據同角關系及差角公式求出 BAD? 的正弦，在三角形 ABD中，由正弦定理可求得 AD。 （ 2022江西理數 ） 17.（本小題滿分 12 分） 已知函數 ? ? ? ? 21 c o t s in s in s in44f x x x m x x??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?。 (1) 當 m=0 時，求 ??fx在區間384????????，上的取值范圍； (2) 當 tan 2a? 時， ? ? 35fa? ，求 m 的值。 【解析】 考查三角函數的化簡、三角函數的圖像和性質、已知三角函數值求值問題。 依托三角函數化簡，考查函數值域，作為基本的知識交匯問題，考查基本三角函數變換，屬于中等題 . 解：（ 1）當 m=0 時， 22c o s 1 c o s 2 s in 2( ) ( 1 ) s in s in s in c o ss in 2x x xf x x x x xx ??? ? ? ? ? 1 [ 2 s in ( 2 ) 1]24x ?? ? ?，由已知 3[ , ]84x ??? ，得 22 [ ,1]42x ?? ? ? 從而得： ()fx的值域為 12[0, ]2? 知識改變命運，學習成就未來 第 48 頁 共 63 頁 （ 2） 2c o s( ) ( 1 ) s in s in ( ) s in ( )s in 4 4xf x x m x xx ??? ? ? ? ? 化簡得： 11( ) [ si n 2 (1 ) c o s 2 ]22f x x m x? ? ? ? 當 tan 2?? ，得：2 2 22 s in c o s 2 ta n 4s in 2 s in c o s 1 ta n 5a a aa a a a? ? ???， 3cos2 5a? ， 代入上式， m=2. （ 2022 安徽文數） 1（本小題 滿分 12 分） ABC? 的面積是 30，內角 ,ABC 所對邊長分別為 ,abc， 12cos 13A? 。 (Ⅰ )求 ABAC ； (Ⅱ )若 1cb??，求 a 的值。 【命題意圖】本題考查同角三角函數的基本關系，三角形面積公式，向量的數量積，利用余弦定理解三角形以及運算求解能力 . 【解題指導】（ 1）根據同角三角函數關系，由 12cos 13A? 得 sinA 的值，再根據 ABC? 面積公式得 156bc? ； 直接求數量積 ABAC .由余弦定理 2 2 2 2 c osa b c bc A? ? ? ，代入已知條件 1cb??，及 156bc? 求 a 的值 . 解：由 12cos 13A? ，得 21 2 5s in 1 ( )1 3 1 3A ? ? ?. 又 1 sin 302 bc A? ，∴ 156bc? . （Ⅰ） 12c o s 1 5 6 1 4 413A B A C b c A? ? ? ? ?. （Ⅱ） 2 2 2 2 c osa b c bc A? ? ? 2 12( ) 2 ( 1 c o s ) 1 2 1 5 6 ( 1 ) 2 513c b b c A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 5a? . 【規律總結】根據本題所給的條件及所要求的結論可知，需求 bc 的值，考慮已知 ABC? 的面積是 30， 12cos 13A? ，所以先求 sinA 的值，然后根據三角形面積公式得 bc 的值 .第二問中求 a 的值，根據第一問中的結論可知，直接利用余弦定理即可 . （ 2022 重慶文數） (18).(本小題滿分 13 分 ), (Ⅰ )小問 5分， (Ⅱ )小問 8分 .) 設 ABC? 的內角 A、 B、 C的對邊長分別為 a、 b、 c,且 3 2b +3 2c 3 2a =4 2 bc . (Ⅰ ) 求 sinA的值； (Ⅱ )求 2 s i n( ) s i n( )441 c os 2A B CA??? ? ?? 的值 . 知識改變命運，學習成就未來 第 49 頁 共 63 頁 （ 2022 浙江文數） （ 18）（本題滿分）在△ ABC 中，角 A， B， C 所對的邊分別為 a,b,c,設 S 為△ ABC 的面積，滿足 2 2 23 ()4S a b c? ? ?。 （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）求 sin sinAB? 的最大值。 （ 2022 重慶理數） （ 16）（本小題滿分 13 分，（ I）小問 7 分，（ II）小問 6 分） 設函數 ? ? 22c o s 2 c o s ,32 xf x x x R???? ? ? ?????。 （ I） 求 ??fx的值域； （ II） 記 ABC? 的內角 A、 B、 C 的對邊長分別為 a， b， c，若 ? ?fB=1， b=1,c= 3 ，知識改變命運，學習成就未來 第 50 頁 共 63 頁 求 a 的值。 （ 2022 山東文數） (17)（本小題滿分 12分） 已知函數 2( ) sin( ) c os c osf x x x x? ? ? ?? ? ?（ 0?? ）的最小正周期為 ? ， （Ⅰ）求 ? 的值； （Ⅱ）將函數 ()y f x? 的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的 12 ，縱坐標不變，得到函數 ()y gx? 的圖像，求函數 ()y gx? 在區間 0,16???????上的最小值 . 知識改變命運，學習成就未來 第 51 頁 共 63 頁 （ 2022北京文數） （ 15）（本小題共 13 分） 已知函數 2( ) 2 c o s 2 sinf x x x?? （Ⅰ）求 ()3f? 的值； （Ⅱ）求 ()fx的最大值和最小值 解：（Ⅰ） 22( ) 2 c o s s in3 3 3f ? ? ???= 311 44? ? ?? （Ⅱ） 22( ) 2( 2 c os 1 ) (1 c os )f x x x? ? ? ? 23 cos 1,x x R? ? ? 因為 ? ?cos 1,1x?? ,所以，當 cos 1x?? 時 ()fx取最大值 2；當 cos 0x? 時，()fx去最小值 1。 （ 2022北京理數） （ 15） （本小題共 13 分） 已知函數 (x)f 22 c os 2 si n 4 c osx x x? ? ?。 （Ⅰ）求 ()3f ?? 的值； 知識改變命運，學習成就未來 第 52 頁 共 63 頁 （Ⅱ）求 (x)f 的最大值和最小值。 解：（ I） 22 3 9( ) 2 c o s si n 4 c o s 13 3 3 3 4 4f ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? （ II） 22( ) 2( 2 c os 1 ) ( 1 c os ) 4 c osf x x x x? ? ? ? ? = 23 cos 4 cos 1xx?? = 2273(cos )33x??,xR? 因為 cosx ? [ 1,1]? ， 所以，當 cos 1x?? 時， ()fx取最大值 6；當 2cos 3x ? 時， ()fx取最小值 73? （ 2022 四 川理數） （ 19）（本小題滿分 12 分） （Ⅰ） ○ 1 證明兩角和的余弦公式 C : c o s( ) c o s c o s sin sin?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?； ○ 2 由 C??? 推導兩角和的正弦公式 S : sin ( ) sin c o s c o s sin?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?. （Ⅱ）已知△ ABC 的面積 1 ,32S AB AC? ? ?，且 35cosB? ，求 cosC. 本小題主要考察兩角和的正、余弦公式、誘導公式、同角三角函數間的關系等基礎知識及運算能力。 解： (1)① 如圖，在執教坐標系 xOy 內做單位圓 O，并作出角 α、 β 與 － β，使角 α 的始邊為Ox，交⊙ O 于點 P1，終邊交 ⊙ O 于 P2；角 β 的始邊為 OP2，終邊交 ⊙ O 于 P3；角 － β 的始邊為 OP1，終邊交 ⊙ O 于 P4. 則 P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(α＋ β),sin(α＋ β)),P4(cos(－ β),sin(－ β)) 由 P1P3＝ P2P4及兩點間的距離公式，得 [cos(α＋ β)－ 1]2＋ sin2(α＋ β)＝ [cos(－ β)－ cosα]2＋ [sin(－ β)－ sinα]2 展開并整理得： 2－ 2cos(α＋ β)＝ 2－ 2(cosαcosβ－ sinαsinβ) ∴ cos(α＋ β)＝ cosαcosβ－ sinαsinβ.…………………… 4 分 ② 由 ① 易得 cos(2? － α)＝ sinα,sin(2? － α)＝ cosα sin(α＋ β)＝ cos[2? － (α＋ β)]＝ cos[(2? － α)＋ (－ β)] ＝ cos(2? － α)cos(－ β)－ sin(2? － α)sin(－ β) ＝ sinαcosβ＋ cosαsinβ…………………………………… 6 分 (2)由題意，設 △ ABC 的角 B、 C 的對邊分別為 b、 c 則 S＝ 12 bcsinA＝ 12 AB AC? ＝ bccosA＝ 3＞ 0 知識改變命運，學習成就未來 第 53 頁 共 63 頁 ∴ A∈ (0, 2? ),cosA＝ 3sinA 又 sin2A＋ cos2A＝ 1， ∴ sinA＝ 1010 ,cosA＝ 31010 由題意， cosB＝ 35 ,得 sinB＝ 45 ∴ cos(A＋ B)＝ cosAcosB－ sinAsinB＝ 1010 故 cosC＝ cos[π － (A＋ B)]＝－ cos(A＋ B)＝－ 1010 ………………………… 12 分 （ 2022天津文數） （ 17）（本小題滿分 12 分） 在 ? ABC 中， coscosAC BAB C? 。 （ Ⅰ ）證明 B=C： （ Ⅱ ）若 cosA =13 ，求 sin 4B3????????的值。 【解析】 本小題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數的基本關系、二倍角的正弦與余弦等基礎知識，考查基本運算能力 .滿分 12分 . （Ⅰ）證明：在△ ABC 中，由正弦定理及已知得