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湖南省部分示范性高中聯考試卷高2文-資料下載頁

2025-12-30 22:08本頁面

　　

【正文】 12 分方法一 (1)證：由已知得 PD2＋ AD2＝ 4a2＋ a2＝ 5a2＝ PA 2 ∴ PD⊥ AD，同理， PD⊥ CD ∴ PD⊥平面 ABCD． 4 分 4 分 (2))解：過作 AE⊥ PB 于 E，連 CE ∵ PA＝ PC， AB＝ BC， PB＝ PB，∴△ PAB≌△ PCB 6 分故 CE⊥ PB， CE＝ AE ∴∠ AEC 是二面角 A－ PB－ C 的平面角 6 分 ∵ BC⊥ CD，由 (1)知 PD⊥平面 ABCD ∴由三垂線定理知 BC⊥ PC， 8 分在 Rt△ PCB 中， aPB BCPCCE 65??? ∴ 51212c os 22222 ?????? ???? CEACCEAE ACCEAEA E C ∴二面角 A－ PB－ C 的大小為51arccos??． 10 分方法二 (1)同方法一． (2)解：以 DPDCDA ，為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立直角坐標系，則 A(a， 0， 0)， B(a， a，0)， P(0， 0， 2a)， C(0， a， 0) PB ＝ (a， a，－ 2a)， AB ＝ (0， a， 0)， BC ＝ (－ a， 0， 0) 設平面 PAB 的法向量為 n1＝ (x， y， 1)，則 PB ? n1＝ 0， AB ? n1＝ 0 即??? ?????? ? ??? 020 02 yxay aayax，∴ n1＝ (2， 0， 1) 8 分同理得平面 PBC 的法向量 n2＝ (0， 2， 1) 10 分設 n n2的角為 ? ，則51|)120(||)102(| )120()102(c os ???? ，，，，? ∴二面角 A－ PB－ C 的大小為51arccos??． 10 分 21 解： (1)證：分別以 1DDDCDA ，為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立直角坐標系，設正方體的棱長為 a，則 B(a， a， 0)， B1(a， a， a) 設 tNCBNMABM ?? ，則 1|||| ??? t aCNMA ∴ M(a， 1?ta ， 0)， N( 1?ta ， a， 0) 3 分設 P (0， 0， z)，則 ????? BPat tat tMN ，， )011( (a， a， z) P A B C D ∴ 0011 22 ??????? at tat tBPMN ∴ BPMN? ，即無論點 P 在 D1D 上如何移動，總有 BP⊥ MN ． 6 分 (2)解： D1P : PD＝ 1 : 2， ∴ P(0， 0， a32)， ?BP (－ a，－ a， a32) 平面 BNB1 的法向量為 ?BA (0，－ a， 0)，平面 B1MN 的法向量為 BP 9 分 cosBA ， BP ＝22223922|||| 22 ?????aaaBPBABPBA ∴二面角 M－ B1N－ B 的大小為22223arccos． 12 分

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