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清華大學微積分高等數學課件第8講微分中值定理-資料下載頁

2026-01-07 06:37本頁面

　　

【正文】有第一類間斷則導函數若函數在某區間內可導2022/2/13 44 有不等式時證明：當例 ,1]7[ ??xxxxx ???? )1l n (1等號成立時當 ,0?xxxxxf???? 1)1l n ()(令 2)1()( xxxf???則[證 ] .)0()(, 上嚴格增加在從而 ??xf0)0(1)1l n ()( ??????? fxxxxf0)(,0 ??? xfx 有時當2022/2/13 45 0)0(1)1l n ()( ?????? fxxxxf)1l n (1 xxx ???即xxxxxg?????)1l n ()1l n ()(同理可證令0)(,01 ????? xfx 有時當.)0,1()(, 上嚴格減少在從而 ?xf)1l n (1 xxx ???即2022/2/13 46 .)(,)0()(]8[01110實根也僅有證明的根全是實根設實系數多項式例xPaaxaxaxaxPnnnnnn??????????故設的根全是實根因為 ,)( xP nmkmkkn xxxxxxaxP )()()()( 21 210 ???? ?nkkkxxxmm?????????2121,其中[證 ] 2022/2/13 47 )()(])()([)()(1211201xfxxxxxxaxxxPkkmkknm?????? ?.0)(,)( 111 ?xfkxPx n 所以重根的是因為)]()()([)()()()()()(11111111111xfxxxfkxxxfxxxfxxkxPkkkn?????????????0)()()()( 1111111 ????? xfkxfxxxfk又.)1()( 11 重根的是故 ?? kxPx n2022/2/13 48 .)1()(,)1()(, 22重根的是重根的是同理????mnmnkxPxkxPx ?.0)(,),(,),(),(,12113221????xPxxxxxxnmmm使內分別有在又根據羅爾定理??? ??的實根個數至少為所以 0)( ?? xP n11)1()1()1( 21 ?????????? nmkkk m?.,10)( 故都為實根個根只有又 ??? nxP n2022/2/13 49 .),(0)(:,0)(,0)(l i m,0)(l i m,0)(,),()(00有且僅有兩個實根在方程求證使又存在一點且上二次可微在設思考題：?????????????????????????xfxfxxfxfxfxfxx??.02)(,0,0)(l i m)1(??????????????xfaxaxfx有時使當知由[證 ] 有理上應用拉格朗日中值定在區間 ,],[ xa2022/2/13 50 )())(()()( xaaxfafxf ?????? ??有時于是當 ,ax ? )(2)()( axafxf ?????????? )(l i m xfx由此推知.0)(,0 ??? bfxb 使從而.0)(,0)(1010????xfxxxf使知于是根據介值定理又知.0)(, 202 ??? xfxx 使同理可證.,),(0)(21 xxxf兩個實根上至少有在因此 ?????2022/2/13 51 .),(0)()2(個實根上僅有兩在證明 ?????xf.,0)(321321xxxxxxxf???且有三個實根假設.0)(,0)(),(),(,3221??????????ffxxxx使得存在根據羅爾定理這與題設矛盾！得使存在再用羅爾定理.0)(),(,????????f.),(0)(,個實根上僅有兩在因此 ?????

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