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2026-07-15 00:44本頁面

　　

【正文】 x f x??? ??? ? ? ? ? ?或或，則直線 xa? 為曲線()y f x?的豎直漸近線．解：因為201l i m 1xxx??? ? ?， x =0 為無窮間斷點，故有豎直漸近線 x =0 ，因為21l i m 1 1xxx???? ? ?，故y= 1 為水平漸近線．注意：豎直漸近線一般在間斷點處存在。 3 、連續函數與閉區間上連續函數的性質概念回顧 1 ）、一元函數的連續性： ()y f x?在點0x處連續0l i m 0xxy?? ? ?00l i m ( ) ( )xxf x f x??? 2 ) 、二元函數的連續性：設函數( , )z f x y?在點0 0 0( , )P x y的某鄰域有定義，若 0000l i m ( , ) ( , )xxyyf x y f x y???, 則稱函數( , )z f x y?在點0P連續．不連續的點稱為間斷點 3 ) 、閉區間上連續函數的性質：有界性最大值最小值零點定理介值定理例 1 8 ．確定 k 的取值使得函數l n ( 1 )0()0xxxfxkx?? ??????? 在其定義域內連續．知識點初等函數的連續性，非初等函數的連續性初等函數在其有定義的區間內處處連續．函數()fx在點0x連續的充分必要條件是下列三個條件同時滿足 1) ．0()fx有定義； 2) ．0l i m ( )xxfx?存在； 3) ．00l i m ( ) ( )xxf x f x?? 解：函數的定義域為( 1 , )? ? ?．由于函數在 0x ? 處的函數值( 0 )fk ?是單獨定義的，所以該函數在定義域( 1 , )? ? ?上不是初等函數。但是在 0x ? 時是初等函數l n ( 1 )()xfxx??．因此函數在區間( 1 , 0 )?和( 0 , )??上是連續的．若使該函數在 0x ? 處連續，則應有0lim ( ) ( 0 )xf x k f???，又因0 0 0 01ln ( 1 ) 11li m ( ) li m li m li m 1 ,11x x x xxxfxxx? ? ? ???? ? ? ?? 所以 1k ? 時，該函數在 0x ? 處連續， 1k ? ， 0x ? 為間斷點。例 1 9 、函數21()( 2 3 )xxfxe x x???? 的間斷點的個數為【】 (A) 0 個 (B) 1 個 (C) 2 個 (D) 3 個知識點：判斷初等函數的間斷點如果()fx在點0x不連續，則稱0x是()fx的間斷點． ● 若下列三種情況之一成立，則0x是()fx的間斷點： i ．0()fx無定義 (0x是無定義的孤立點 ) ii ．0l i m ( )xxfx?不存在 iii ．0()fx有定義，0l i m ( )xxfx?存在，但00l i m ( ) ( )xxf x f x??． ● 若()fx是含有分母的初等函數，則分母的零點是間斷點． ● 若()fx是分段函數，則分段的分界點是可疑的間斷點．解答將函數的分母做因式分解，則有1()( 1 ) ( 2 )xxfxe x x????．分母的零點就是函數的間斷點．可以看到分母的零點為1 , 2x ?，應選擇 C ．注：對函數分母做因式分解是判斷函數間斷點的常用方法．例 20 ．證明：方程 2xxe ? 在區間 ( 0 , 1 ) 上至少有一個實根．知識點：零點定理設 ()fx 在閉區間 [ , ]ab 上連續，且 ( ) ( ) 0f a f b ?， ( 即 ()fx 在區間端點處函數值的符號相反 ) ，則至少存在一個點 ( , )c a b? 使得 ( ) 0fc ? ．解：將方程根的范圍問題轉化為函數的零點問題。該方程等價于 20xxe ?? ．令函數 ( ) 2xf x xe?? ，則函數 ()fx 在閉區間 [ 0 , 1 ] 上連續（初等函數的連續性）， ( 0 ) 2 0f ? ? ?， ( 1 ) 2 0 . 7 1 8 0fe ? ? ? ?．由閉區間上連續函數的零點定理可知，存在 0 ( 0, 1 )x ? 使得 0( ) 0fx ? ，即0020xxe ?? 。這說明 0x 是方程 2xxe ? 的根．注：方程根的范圍問題一般都化為求函數的零點問題來解決．

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