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屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--46直線,平面平行-資料下載頁

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【正文】 ∩β=l, ∴ c∥ l(線面平行的判定定理 ). 又 ∵ a∥ c,∴ 由公理 4,a∥ l. 第 52頁共 64 頁證法二 :同一法 . 如圖 ,在平面 α和平面 β的交線 l上取一點(diǎn) A,過 A作直線l′∥ a.∵ a∥ α, ∴ l′在 α內(nèi) (一條直線與一個(gè)平面平行 ,那么過平面內(nèi)的一點(diǎn)且與這條直線平行的直線都在這個(gè)平面內(nèi) ). 第 53頁共 64 頁同理 a∥ β,∴ l′也在 β內(nèi) . ∴ l′既在平面 α內(nèi) ,又在平面 β內(nèi) . 由公理 3知 l′就是平面 α與平面 β的交線 ,即 l′與 l重合 . 又 ∵ l′∥ a,∴ l∥ a. 第 54頁共 64 頁證法三 :利用平行線關(guān)系 . 如圖 ,∵ a∥ α,∴ 過 a作平面 γ交平面 α于不同于直線 l的直線 c,則 c∥ a. 第 55頁共 64 頁又 ∵ a∥ β,∴ c∥ α是過 c的平面且與平面 β相交于直線 l. 由線面平行的性質(zhì)定理 ,得 c∥ l. 又 ∵ a∥ c,由公理 4知 ,a∥ l. 第 56頁共 64 頁證法四 :借助輔助平面 . 如圖 ,過平面 α與平面 β的交線 l上一點(diǎn) A和直線 a作平面 γ. 第 57頁共 64 頁 ∵ γ與 α、 β有公共點(diǎn) A,則 γ分別與 α、 β有過 A的一條交線 ,設(shè)為 l′與 l″,但過 A點(diǎn)有且只有一條直線平行于 a, ∴ l′與 l″重合 ,且這條直線既在平面 α內(nèi) ,又在平面 β內(nèi) ,故一定是平面 α與平面 β的交線 l. ∴ l′、 l″、 l三條直線重合 ,則 a∥ l. 第 58頁共 64 頁證法五 :反證法 . 若直線 a不平行于直線 l,則 a與 l相交或異面 . 當(dāng) a與 l相交時(shí) ,則 a就與 l所在的平面 α和平面 β相交 ,這與已知a∥ α,α∥ β相矛盾 ,所以這是不可能的 . 當(dāng) a與 l異面時(shí) ,過 l平行于 a的平面只有一個(gè) ,但已知平面 α和平面 β是兩個(gè)不同的平面都過 l且均與直線 a平行 , 因此 a與 l異面也是不可能的 . 因此直線 a與直線 l既不相交也不異面 ,故 a∥ l. 第 59頁共 64 頁證法六 :過 a作平行平面研究交線關(guān)系 . 如圖 ,過直線 a作平面 γ與平面 α平行 . 第 60頁共 64 頁 ∵ 平面 α與平面 β相交 , ∴ 平面 β也必與平面 γ相交 . 設(shè)平面 γ與平面 β的交線為 b. ∵ a∥ β,∴ a∥ b. 又 l∥ b(如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交 ,那么它們的交線平行 ). 由公理 4,知 a∥ l. 第 61頁共 64 頁證法七 :借助輔助平面 ,將平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系來證明 . 如圖 ,作平面 γ,使直線 a⊥ γ. 第 62頁共 64 頁 ∵ a∥ α, ∴ α⊥ γ(一條直線如果平行于一個(gè)平面 ,那么平行于這條直線的平面也垂直于這個(gè)平面 ). 同理可證 ,β⊥ γ. ∴ l⊥ γ(兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面 ,那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面 ). ∵ l⊥ γ,a⊥ γ, ∴ a∥ l(垂直于同一平面的兩條直線平行 ). 第 63頁共 64 頁 [方法與技巧 ] (1)證法一、證法三、證法四是利用平行關(guān)系 (線面平行的判定與性質(zhì)定理 )證明 ,是直接法。證法二與證法四是同一法 ,證法五是反證法 ,同一法與反證法屬于間接證明 ,證法七利用垂直關(guān)系證明的 . 第 64頁共 64 頁 (2)上述方法主要是掌握證法一、證法三、證法四 ,這三種證法思路簡(jiǎn)捷、明快 ,是直接應(yīng)用線面平行的判定定理或性質(zhì)定理來證明的 .其他方法僅作了解 ,以拓寬知識(shí)面 . (3)證明過程中用到了一些常用的結(jié)論 (括號(hào)內(nèi)結(jié)論 ),對(duì)這些結(jié)論要在理解的基礎(chǔ)上牢記它們 ,這樣做有助于我們解決其它問題 .

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