反比例函數綜合題-資料下載頁

　　

【正文】 ，CD=x，B′D=BD=3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2=B′D2，（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，解這個方程得，x1=1．5（舍去），x2=0．96，∴滿足條件的點D存在，D的坐標為D（0．96，5）．考點：反比例函數綜合題．46．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y=（m≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（n，6），點C的坐標為（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；（2）求點B的坐標；（3）在x軸上求點E，使△ACE為直角三角形．（直接寫出點E的坐標）【答案】（1）反比例函數表達式為：y=，一次函數的表達式為：y=2x+4；（2）B（﹣3，﹣2）；（3）E1（1，0），E2（13，0）．【解析】試題分析：（1）過點A作AD⊥x軸于D，根據A、C的坐標求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把點的坐標代入解析式即可求得反比例函數和一次函數解析式；（2）求出反比例函數和一次函數的另外一個交點即可；（3）分兩種情況：①AE⊥x軸，②EA⊥AC，分別寫出E的坐標即可．試題解析：（1）過點A作AD⊥x軸于D，∵C的坐標為（﹣2，0），A的坐標為（n，6），∴AD=6，CD=n+2，∵tan∠ACO=2，∴=2，解得：n=1，經檢驗n=1為原方程解；故A（1，6），∴m=16=6，∴反比例函數表達式為：y=，又∵點A、C在直線y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函數的表達式為：y=2x+4；（2）由得：=2x+4，解得：x=1或x=﹣3，∵A（1，6），∴B（﹣3，﹣2）；（3）分兩種情況：①當AE⊥x軸時，即點E與點D重合，此時E1（1，0）；②當EA⊥AC時，此時△ADE∽△CDA，則，DE==12，又∵D的坐標為（1，0），∴E2（13，0）．綜上所述，E1（1，0），E2（13，0）．考點：反比例函數綜合題．47．（10分）如圖，已知A、B兩點的坐標分別為A（0，2）B（﹣2，0），直線AB與反比例函數y=的圖象交于點C和點D（1，a）（1）求直線AB和反比例函數的函數關系式；（2）求∠ACO的度數；（3）將△OBC繞點O順時針旋轉α角（0176。＜α＜90176。），得到△OB1C1，當α為多少度時OC1⊥AB，并求此時線段AB1的長．【答案】（1）y=x+2，y=；（2）∠ACO=30176。；（3）AB1=2．【解析】試題分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將A與B坐標代入求出k與b的值，確定出直線AB的解析式，將D坐標代入直線AB解析式中求出a的值，確定出D的坐標，將D坐標代入反比例解析式中求出m的值，即可確定出反比例解析式；（2）聯立兩函數解析式求出C坐標，過C作CH垂直于x軸，在直角三角形OCH中，由OH與HC的長求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函數值求出∠COH的度數，在三角形AOB中，由OA與OB的長求出tan∠ABO的值，進而求出∠ABO的度數，由∠ABO﹣∠COH即可求出∠ACO的度數．（3）過點B1作B1G⊥x軸于點G，先求得∠OCB=30176。，進而求得α=∠COC1=60176。，根據旋轉的性質，得出∠BOB1=α=60176。，解直角三角形求得B1的坐標，然后根據勾股定理即可求得AB1的長．試題解析：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（0，2），B（﹣2，0）代入得：，解得：，故直線AB解析式為y=x+2，將D（1，a）代入直線AB解析式得：a=3，則D（1，3），將D坐標代入y=中，得：m=3，則反比例解析式為y=；（2）聯立兩函數解析式得：，解得：或，則C坐標為（﹣3，﹣），過點C作CH⊥x軸于點H，在Rt△OHC中，CH=，OH=3，tan∠COH=，∠COH=30176。，在Rt△AOB中，tan∠ABO=，∠ABO=60176。，∠ACO=∠ABO﹣∠COH=30176。；（3）過點B1作B1G⊥x軸于點G，∵∠ABO=60176。，∠COH=30176。，∴∠OCB=30176。，∵OC1⊥AB，∴∠COC1=60176。，∴α=60176。．∴∠BOB1=60176。，∵OB1=OB=2，∴OG=1，B1G=，∴B1（﹣1，），∴AB1==2．考點：反比例函數與一次函數的綜合題．48．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在直線上，AB∥y軸，且點B的縱坐標為1，雙曲線經過點B.（1）求a的值及雙曲線的解析式；（2）經過點B的直線與雙曲線的另一個交點為點C，且△ABC的面積為.①求直線BC的解析式；②過點B作BD∥x軸交直線于點D，△BDP以它的一邊為對稱軸進行翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為正方形，直接寫出所有滿足條件的點P的坐標.【答案】（1）（2）①.②（1，2）或.【解析】試題分析：（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征可得到解得a=2，則A（2，）），再確定點B的坐標為（2，1），然后把B點坐標代入中求出m的值即可得到反比例函數的解析式；（2）①過點C作CE⊥AB于點E，如圖5.，根據三角形面積公式得到解得CE=3，點C的橫坐標為1.∵點C在雙曲線上，則點C的坐標為（1，2），再利用待定系數法求直線BC的解析式；②先確定D（1，1），根據直線BC解析式的特征可得直線BC與x軸的夾角為45176。，而BD∥x軸，于是得到∠DBC=45176。，根據正方形的判定方法，只有△PBD為等腰直角三角形時，以它的一邊為對稱軸進行翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為正方形，分類討論：若∠BPD=90176。，則點P在BD的垂直平分線上，易得此時P（，）；若∠BDP=90176。，利用PD∥y軸，易得此時P（1，2）．試題解析：（1）∵點A在直線上，∴.∴.…………………………1分∵AB∥y軸，且點B的縱坐標為1，∴點B的坐標為（2,1）.∵雙曲線經過點B（2,1），∴，即.∴反比例函數的解析式為. （2）①過點C作CE⊥AB于點E，如圖.∴.∴CE=3. ∴點C的橫坐標為1.∵點C在雙曲線上，∴點C的坐標為（1，2）.設直線BC的解析式為，則 解得∴直線BC的解析式為. ②（1，2）或. 考點：反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數解析式和正方形的判定方法．49．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數（k≠0）在第一象限內的圖象經過點D、E，且tan∠BOA=．（1）求邊AB的長；（2）求反比例函數的解析式和n的值；（3）若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長．【答案】(1)2；（2）反比例函數解析式為y=，n=；（3）【解析】試題分析：（1）根據點E的縱坐標判斷出OA=4，再根據tan∠BOA=即可求出AB的長度；（2）根據（1）求出點B的坐標，再根據點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數法求函數解析式求出反比例函數解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值；（3）先利用反比例函數解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據折疊的性質可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度．試題解析：（1）∵點E（4，n）在邊AB上，∴OA=4，在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=，∴AB=OAtan∠BOA=4=2；（2）根據（1），可得點B的坐標為（4，2），∵點D為OB的中點，∴點D（2，1）∴=1，解得k=2，∴反比例函數解析式為y=，又∵點E（4，n）在反比例函數圖象上，∴，解得n=；（3）如圖，設點F（a，2），∵反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，∴=2，解得a=1，∴CF=1，連接FG，設OG=t，則OG=FG=t，CG=2t，在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2t）2+12，解得t=，∴OG=t=．考點：反比例函數綜合題．50．直線y=x+b與雙曲線y=交于點A（﹣1，﹣5）．并分別與x軸、y軸交于點C、B．（1）直接寫出b= ，m= ；（2）根據圖象直接寫出不等式x+b＜的解集為 ；（3）若點D在x軸的正半軸上，是否存在以點D、C、B構成的三角形與△OAB相似？若存在，請求出D的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）﹣4，5；（2）x＜﹣1或0＜x＜5；（3）D的坐標是（6，0）或（20，0）．【解析】試題分析：（1）分別把點A的坐標代入一次函數與反比例函數的解析式，即可得b、m的值；（2）根據圖象可得，不等式x+b＜的解集為反比例函數的圖象在一次函數的圖象上方時對應x的取值；（3）已知y=x﹣4，可求得B的坐標是（0，﹣4），C的坐標是（4，0），易得∠ABD=45176。，∠ABO=∠BCE=135176。，點D在x軸的正半軸上，可以分D在線段OC上（不在O點）或線段OC的延長線上兩種情況，第一種情況，當D在線段OC（不與O重合）上時，兩個三角形一定不能相似；第二種情況當D在線段OC的延長線上時，設D的坐標是（x，0），則CD=x﹣4，根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得當或時，△AOB與△BDC相似，根據相似三角形的對應邊的比相等代入數據即可求得x的值，也就得到點D的坐標．試題解析：解：（1）把A（﹣1，﹣5）代入y=x+b得：﹣5=﹣1+b，解得：b=﹣4．把A（﹣1，﹣5）代入y=，得：m=（﹣1）（﹣5）=5．故答案是：﹣4，5；（2）解集為：x＜﹣1或0＜x＜5，故答案是：x＜﹣1或0＜x＜5；（3）OA==，在y=x﹣4中，令x=0，解得y=﹣4，則B的坐標是（0，﹣4）．令y=0，解得：x=4，則C的坐標是（4，0）．故OB=4，AB==，BC=4，OC=4．∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB=∠OBC=45176。，∠BCE=135176。．過A作AD⊥y軸于點D．則△ABD是等腰直角△，∠ABD=45176。，∠ABO=135176。．1）當D在線段OC（不與O重合）上時，兩個三角形一定不能相似；2）當D在線段OC的延長線上時，設D的坐標是（x，0），則CD=x﹣4，∠ABO=∠BCD=135176。，當△AOB∽△DBC時，即，解得：x=6，則D的坐標是（6，0）；當△AOB∽△BDC時，即，解得：x=20，則D的坐標是（20，0）．則D的坐標是（6，0）或（20，0）．考點：反比例函數綜合題．51．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=的圖象交于一、三象限內的A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（2，m），點B的坐標為（n，2），tan∠BOC=．（1）求該反比例函數和一次函數的解析式．（2）求△BOC的面積．（3）P是x軸上的點，且△PAC的面積與△BOC的面積相等，求P點的坐標．【答案】（1）反比例函數為y=，一次函數的解析式為：y=x+2；（2）2；（3）P（3，0）或P（1，0）．【解析】試題分析：（1）過B作x軸的垂線，垂足為D，求出BD=2，根據tan∠BOC=求出OD=4，得出B的坐標，把B的坐標代入y=即可求出反比例函數的解析式，求出A的坐標，把A、B的坐標代入一次函數的解析式，即可求出解析式；（2）求出CO=2，根據三角形面積公式求出即可；（3）設P點的坐標為P（a，0）根據S△PAC=S△BOC得出PC4=2，求出PC即可．試題解析：（1）過B作x軸的垂線，垂足為D，∵B的坐標為（n，2），∴BD=2，∵tan∠BOC=，∴OD=4，∴B的坐標為（4，2）把B（4，2）代入y=得：k=8，∴反比例函數為y=，把A（2，m）代入y=得：m=4，∴A（2，4），把A（2，4）和B（4，2）代入y=ax+b得：解得：a=1，b=2，∴一次函數的解析式為：y=x+2；（2）在y=x+2中，令y=0，得x=2，∴CO=2，∴S△BOC=CO?BD=22=2；（3）設P點的坐標為P（a，0）則由S△PAC=S△BOC得：PC4=2，∴PC=1，即||a+2|=1，解得：a=3或a=1，即P的坐標為（3，0）或（1，0）．考點：反比例函數與一次函數的交點問題．52．反比例函數y1=（x＞0，k≠0）的圖象經過點（1，3），P點是直線y2=x+6上一個動點，如圖所示，設P點的橫坐標為m，且滿足m+6＞，過P點分別作PB⊥x軸、PA⊥y軸，垂足分別為B、A，與雙曲線分別交于D、C兩點，連接OC、OD、CD．（1）求k的值并結合圖象求出m的取值范圍；（2）在P點運動過程中，求線段OC最短時P點的坐標；（3）將三角形OCD沿著CD翻折，點O的對應點為O′，得到四邊形O′COD，問：四邊形O′COD能否為菱形？若能，求出P點坐標；若不能，說明理由．【答案】（1）k=3，3＜m＜3+；（2）P（6，）；（3）P（3，3）．【解析】試題分析：（1）先把（1，3）代入y1=求出k的值，再由兩函數有交點求出m的值，根據函數圖象即可得出結論；（2）根據線段OC最短可知OC為∠AOB的平分線，對于y1=，令x=y1，即可得出C點坐標，把y=代入y=x+6中求出x的值即可得出P點坐標；（3）當O