人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2教案全集-資料下載頁(yè)

　　

【正文】 納，找出共同點(diǎn)．2．新課講授1．定積分的概念 一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，作和式：如果無(wú)限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于常數(shù)，那么稱(chēng)該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為： 其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。說(shuō)明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無(wú)限趨近的常數(shù)（時(shí)）稱(chēng)為，而不是． （2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點(diǎn)；③求和：；④取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程；變力做功 2．定積分的幾何意義 如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積。說(shuō)明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積去負(fù)號(hào)． 分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值。考察和式不妨設(shè)于是和式即為陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積） 2．定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1 性質(zhì)2 （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3 （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4 （定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）性質(zhì)5 若，則推論1：， 推論2： 性質(zhì)6設(shè)為在上的最大值、最小值，則性質(zhì)7（中值定理）若，則至少有一，使.證：由性質(zhì)6知，依介值定理，必有，使，即。說(shuō)明：①推廣： ②推廣: ③性質(zhì)解釋?zhuān)盒再|(zhì)4性質(zhì)1例1．計(jì)算定積分分析：所求定積分即為如圖陰影部分面積，面積為。12yxo即：思考：若改為計(jì)算定積分呢？改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上出現(xiàn)了負(fù)值如何解決呢？（后面解決的問(wèn)題） 練習(xí)計(jì)算下列定積分1． 解：2． 解：例2．計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.【分析】?jī)蓷l拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以?xún)蓷l曲線所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到。ABCDO解：，所以?xún)汕€的交點(diǎn)為（0，0）、（1，1），面積S=，所以=【點(diǎn)評(píng)】在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個(gè)步驟：；；；。鞏固練習(xí) 計(jì)算由曲線和所圍成的圖形的面積.四：課堂小結(jié)定積分的概念、定義法求簡(jiǎn)單的定積分、定積分的幾何意義．五：教學(xué)后記（1）定積分的幾何意義的片面理解。對(duì)于幾何意義，多數(shù)學(xué)生片面理解成定積分就是面積，進(jìn)而在相關(guān)習(xí)題中出現(xiàn)錯(cuò)誤167。一：教學(xué)目標(biāo)　知識(shí)與技能目標(biāo)　通過(guò)實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的含義，會(huì)用牛頓萊布尼茲公式求簡(jiǎn)單的定積分過(guò)程與方法通過(guò)實(shí)例體會(huì)用微積分基本定理求定積分的方法情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力。二：教學(xué)重難點(diǎn)　　重點(diǎn)通過(guò)探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分。難點(diǎn)　了解微積分基本定理的含義　三：教學(xué)過(guò)程：復(fù)習(xí)：定積分的概念及用定義計(jì)算引入新課我們講過(guò)用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），則物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程可用速度函數(shù)表示為。 另一方面，這段路程還可以通過(guò)位置函數(shù)S（t）在上的增量來(lái)表達(dá)，即 =而。 對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有 若上式成立，我們就找到了用的原函數(shù)（即滿(mǎn)足）的數(shù)值差來(lái)計(jì)算在上的定積分的方法。注：1：定理 如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，則證明：因?yàn)?與都是的原函數(shù)，故 =C（） 其中C為某一常數(shù)。 令得=C，且==0即有C=，故=+ ==令，有此處并不要求學(xué)生理解證明的過(guò)程為了方便起見(jiàn)，還常用表示，即 該式稱(chēng)之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問(wèn)題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了深遠(yuǎn)的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。例1．計(jì)算下列定積分：（1）； （2）。解：（1）因?yàn)?，所以。?））因?yàn)椋?。練?xí)：計(jì)算解：由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有 ===例2．計(jì)算下列定積分：。由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因?yàn)?，所以? 可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0: ( l ）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí)（ ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1 . 6 一 3 ( 2 ）（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí)（圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)； ( 3）當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積． 例3．汽車(chē)以每小時(shí)32公里速度行駛，到某處需要減速停車(chē)。設(shè)汽車(chē)以等減速度=，問(wèn)從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)走了多少距離？解:首先要求出從剎車(chē)開(kāi)始到停車(chē)經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間。當(dāng)t=0時(shí)，汽車(chē)速度=32公里/小時(shí)=米/,剎車(chē)后汽車(chē)減速行駛,其速度為當(dāng)汽車(chē)停住時(shí),速度,故從解得秒于是在這段時(shí)間內(nèi),汽車(chē)所走過(guò)的距離是=米,即在剎車(chē)后,.微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來(lái)，成為一門(mén)影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說(shuō)，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果．四：課堂小結(jié)：，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡(jiǎn)便方法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識(shí)比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來(lái)多復(fù)習(xí)！五：教學(xué)后記：167。一：教學(xué)目標(biāo)　知識(shí)與技能目標(biāo)　 進(jìn)一步讓學(xué)生深刻體會(huì)“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法； 讓學(xué)生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理； 初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見(jiàn)題型及方法； 體會(huì)定積分在物理中應(yīng)用（變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力沿直線做功）。過(guò)程與方法情感態(tài)度與價(jià)值觀二：教學(xué)重難點(diǎn)　　重點(diǎn) 曲邊梯形面積的求法難點(diǎn)　定積分求體積以及在物理中應(yīng)用　三：教學(xué)過(guò)程：復(fù)習(xí)求曲邊梯形的思想方法是什么？定積分的幾何意義是什么？微積分基本定理是什么？ 定積分的應(yīng)用（一）利用定積分求平面圖形的面積例1．計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.【分析】?jī)蓷l拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以?xún)蓷l曲線所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到。ABCDO解：，所以?xún)汕€的交點(diǎn)為（0，0）、（1，1），面積S=，所以=【點(diǎn)評(píng)】在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個(gè)步驟：；；；。鞏固練習(xí) 計(jì)算由曲線和所圍成的圖形的面積.例2．計(jì)算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S.分析：首先畫(huà)出草圖（ 一2 ) ，并設(shè)法把所求圖形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問(wèn)題．與例 1 不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分S1和S2．為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線與 x 軸的交點(diǎn)．解：作出直線，曲線的草圖，所求面積為圖1. 7一2 陰影部分的面積．解方程組得直線與曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（8,4) . 直線與x軸的交點(diǎn)為（4,0). 因此，所求圖形的面積為S=S1+S2.由上面的例題可以發(fā)現(xiàn)，在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫(huà)出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限．。 答案： 練習(xí)求直線與拋物線所圍成的圖形面積。答案：xyoy=－x2+4x3求由拋物線及其在點(diǎn)M（0，－3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解：，切線方程分別為、則所求圖形的面積為求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。 略解：所求圖形的面積為xxOy=x2ABC：切點(diǎn)A的坐標(biāo)以及切線方程. 略解：如圖由題可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則由題可知有，所以切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程分別為總結(jié)：定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.求曲邊梯形面積的方法與步驟：（1） 畫(huà)圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；（2） 對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；（3） 確定被積函數(shù)；（4） 求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和。幾種常見(jiàn)的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：（1）型區(qū)域：①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1））；②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2））；③由兩條曲線與直線yabxyabxyabx圖（1） 圖（2） 圖（3）所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3））；（2）型區(qū)域：①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得，然后利用求出（如圖（4））；②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（5））； ③由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，然后利用求出（如圖（6））；yabxyabxyabx圖（4） 圖（5） 圖（6）2．求平面曲線的弧長(zhǎng)設(shè)曲線AB方程為，函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且連續(xù)，則曲線AB的弧長(zhǎng)為.3．求旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為.其側(cè)面積為.（二）、定積分在物理中應(yīng)用(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程我們知道，作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)v=v (t) ( v(t) ≥0) 在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分，即例 4。 一3 所示．求汽車(chē)在這1 min 行駛的路程．解：由速度一時(shí)間曲線可知：因此汽車(chē)在這 1 min 行駛的路程是：答：汽車(chē)在這 1 min 行駛的路程是 1350m .2．變力作功一物體在恒力F（單位：N）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與F相同的方向移（單位：m)，則力F所作的功為W=Fs .探究如果物體在變力 F(x）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與 F (x) 相同的方向從x =a 移動(dòng)到x=b (ab) ，那么如何計(jì)算變力F(x）所作的功W呢？與求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一樣，可以用“四步曲”解決變力作功問(wèn)題．可以得到 例5．如圖17一4 ，在彈性限度內(nèi)，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm 處，求克服彈力所作的功．解：在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力 F ( x ）與彈簧拉伸（或壓縮）的長(zhǎng)度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常數(shù) k 是比例系數(shù)．由變力作功公式，得到答：克服彈力所作的功為.例6．A、一輛電車(chē)從A站B開(kāi)往站，電車(chē)開(kāi)出ts后到達(dá)途中C點(diǎn)，(m/s)，到C點(diǎn)的速度為24m/s，從C點(diǎn)到B點(diǎn)前的D點(diǎn)以等速行駛，從D點(diǎn)開(kāi)始剎車(chē)，經(jīng)ts后，速度為（）m/s，在B點(diǎn)恰好停車(chē)，試求（1）A、C間的距離；（2）B、D間的距離；（3）電車(chē)從A站到B站所需的時(shí)間。分析：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,即略解：（1）=24, t1=20(s),則AC＝（2）=0, t21=20(s),則DB＝（3）CD=72002240=6720(m),則從C到D的時(shí)間為280(s),則所求時(shí)間為20+280+20=320（s）例3：如果1N能拉長(zhǎng)彈簧1cm，為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm，需做功（ A ） A B C D 略解：設(shè)，則由題可得，所以做功就是求定積分。練習(xí)：四：課堂小結(jié) 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了利用定積分求一些曲邊圖形的