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積分中值定理的推廣及應用畢業論文-資料下載頁

2026-06-10 03:07本頁面

　　

【正文】時可得到估計的積分值為。例2 估計的積分解：設。則，其次，假設和，則單調下降，并且有。于是，其中。因此。例3 證明等式。證法1：由第一積分中值定理可知，其中位于和之間的某個值。證法2：由第二積分中值定理可知得，其中位于和之間的某個值，于是。求含定積分的極限例4 求極限解：利用廣義積分中值定理則確定積分號例5確定積分的符號解：由積分中值定理可知其中。又在上不恒為0，則有，即的符號為正號。比較積分大小例6 比較積分和的大小解：當時，從而有，于是我們有，即小于等于。證明函數的單調性例7設函數在上連續，其中，試證：在內，若為非減函數，則必為非增函數。證明：利用分歩積分法，將化為對上式求導，可以得到：。由積分中值定理，可得：。若為非減函數，則有成立，因此可以得到，故為非增函數，命題得證。證明定理例8 證明（阿貝爾判別法）如果在上可積，單調有界，那么收斂。證明：由假設條件，利用第二中值定理，在任何一個區間上（其中），存在，使得。因為在上可積，則收斂，所以對于任何，存在，使得當時，成立。又由，根據柯西收斂原理可推知積分收斂。備注2：當討論無界函數廣義積分時，可將阿貝爾判別法可改寫為：假設在有奇點，收斂，單調有界，那么積分收斂。證明：對應用第二積分中值定理，證明過程略。備注3：當討論二元函數的積分限為含有參變量時，則含參變量的廣義積分的阿貝爾判別法可寫為：假設關于為一致收斂，關于單調（即對每個固定的，作為的函數是單調的），并且關于是一致有界的，即存在正數，對所討論范圍內的一切成立：。那么積分關于在上是一致收斂的。證明：由于關于是一致收斂的，則對于任意正數，存在，當時，成立。因此，當時，將看成給定常數，則由積分第二中值定理中的公式因為對任意的都有，則。因此，關于在上是一致收斂的，命題得證。例9 證明（狄里克萊判別法）如果有界，即存在，使得單調且當時趨向于零，那么積分收斂。證明：因為，所以對任意的，存在，當時。又因，所以，同樣我們有。由第二積分中值定理，只要，就有所以積分收斂，命題得證。備注4：當討論無界函數廣義積分時，我們可將狄立克萊判別法寫為：設在有奇點，是的有界函數，單調且當時趨于零，那么積分收斂。證明：對應用第二積分中值定理，證明過程略。備注5：當討論二元函數的積分限為含有參變量時，則含參變量的廣義積分的狄立克萊判別法寫為：設積分對于和是一致有界的，即存在正數，使對上述成立又因為關于是單調的，并且當時，關于上的一致趨于零，即對于任意給定的正數，有，當時，對一切成立，那么積分關于在上是一致收斂的。證明：由所假設的條件可推知對任何，有而由和上式可推知，當時，因此，關于在上是一致收斂的，命題得證。7 結論本課題通過討論積分中值定理，對積分中值定理內容如積分中值定理的定義、推廣、漸進性質、應用加以說明，使得我們對積分中值定理有一個大概的了解。本文論述得還是比較完全的，對于積分中值定理的各個方面有關情形都一一加以討論。而且對于現在比較熱門研究的漸進性問題有了初步了解，但相對于當今的研究方向來說討論還是比較少的，并且討論的時候對于給出的條件比較苛刻。此外，積分中值定理的推廣問題也是當今數學研究的一個方向，我們再此也給出了簡單的介紹。但課題的內容缺少了與實際接軌的東西，理論性質比較強，任何學科的研究都是為現實生活服務的，我希望在應用方向能夠找到更加實際的東西，因此當然希望以后能有現實的東西加在理論問題的研究之中。謝辭首先，我要衷心感謝我的導師黃老師兩個多月來對我辛勤的培育和無微不至的關懷。在選題，查找資料，撰寫，到反復修改，乃至定稿，都得到了黃老師的悉心指導。黃老師有著嚴謹的治學態度，忘我的工作態度以及正直的為人和寬廣的胸懷，是我們的楷模，也使學生銘記于心，這些將影響我日后的工作和學習，將使我受益終身。其次，我要感謝我四年同窗好友434宿舍的全體姐妹們，她們總是在我遇到困難的時候伸出友誼之手，在論文的撰寫及校正過程中，她們更是給了我大量的建議和幫助，在此向她們表示感謝！最后，我要感謝07級信息與計算科學專業以及信息科學技術學院的所有老師和同學，感謝他們在四年來的支持和幫助。參考文獻[1] 陳紀修、於崇華、（第二版上冊）.北京:高等教育出版社，[2] 陳紀修、於崇華、（第二版下冊）.北京:高等教育出版社，[3] 陳傳璋、（下冊）.北京：高等教育出版社，1983. 286288[4] 陳傳璋、（上冊）.北京：高等教育出版社，1983. 5156， 252[5] （第五版上冊）.北京：高等教育出版社，1996. 232[6] （第五版下冊）.北京：高等教育出版社，1996. 28[7] 王成偉、“中值點”，1994. 8689[8] 王成偉、2000. 7375[9] 胡衛敏. ,2004. 610[10] 李云霞. 關于廣義積分中值定理及“中間點”,1998. 1619[11] Altonso G Azpeitia . On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula . Amer Math Monthly

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