均值不等式的論文-資料下載頁

　　

【正文】 明 作3x3正方形表由（*）式，得由均值不等式，得注意到xyz=1，化簡，得例 7 (第31屆IMO備選題)設a,b ,c,d0,且 ab+bc+cd+da=1。求證證明 作4x2長方形表:由（*）式，得因為代入上式左端，所以上述不等式兩邊平方，整理，得極限概念是高等數學中的重要概念， 極限理論是高等數學中的基礎理論。高等數學中有許多重要的概念都是以極限形式來定義的。而極限概念是用不等式刻畫的。這就決定了不等式運算是高等數學中最基本的運算之一， 因此作為基本不等式之一的均值不等式在解決高等數學的問題中發揮著重要的作用。 證明重要極限的存在性。［ １］證明：先證數列單調遞增。令，則由均值不等式得即 所以數列單調遞增。再證數列有上界。下面的證明可以看到一個更強的命題： 數列以（ k 為正整數） 為上界。先證不等式：當nk 時，.設 ，.由均值不等式 因此， 其次由，有當nk 時， 任取一個正整數k，均是數列的上界。又數列單調遞增，∴ 當n≤k 時， 不等式仍然成立。因此， 對于數列（ n=1，2…） 恒有（ k 為正整數） 。任意選定一個k值，均是數列的上界。所以數列單調有界， 由單調有界定理， 數列極限存在。設極限值為e，即.由上面的證明，我們不難用均值不等式證明：數列極限存在且其極限也是e。證明如下：記所以數列 單調減少，且 數列收斂，且極限也是e。由上面的結果有，兩邊取對數有由此可以證明數列收斂。（ 其極限稱為Euler 數） 求極限解：利用因為有，故 證明積分不等式例1［ 2］ 證明：若函數f（ x） 在［ a，b］ 連續，且x∈［ a，b］ ，有f（ x）0，則證明：：與在［ a，b］ 上均可積。應用積分定義，將區間［ a，b］ 進行n 等分。取極限（ n→∞） 則有例2 ［ 2］ 證明：若函數在［ a，b］ 上是正值可積的，k=1，2…n，且0ab，則證明：利用有于是：即例3 設f （ x） 在［ ０，１］ 上非負連續， 證明：證明：由題設知f（ x） ，1nf（ x） 在［ ０，１］ 上可積，將［ ０，１］ n 等分，作積分和 所以由均值不等式得故注1： 此例中的結論僅僅是著名的Jensen 不等式的一個特例。注2：Jensen 不等式： 設μ 是在集Ω 內的σ－代數м 上的正測度，使得μ（ Ω） ＝１，若f 是內的實函數，對所有的x∈Ω，af（ x） b，且φ 是在（ a，b） 上是凸的，則在證數列收斂時,文獻[ 1 ]中引入的不等式, 不易想到, [ 2 ] 中用到二項式展開式,過程較為繁瑣. 然而利用均值不等式結合單調有界定理證明此問題,分析思路清晰,過程簡潔,便于理解.　單調有界定理與均值不等式為討論方便,將文獻[ 1 ]中定理2. 9和文獻[3 ]中的均值不等式引述如下定理1　(單調有界定理) 在實系數中,有界的單調數列必有極限.推論1　在實系數中,遞增有上界的數列必有極限.推論2　在實系數中,遞減有下界的數列必有極限.定理2　(均值不等式) 設 為n個正實數,則有 (其中“ =”當且僅當時成立) .　均值不等式在數列收斂證明中的應用問題一:證明數列收斂證明　由, 猜想數列為單調遞增數列,需證, 即證　　因為.其中 0. 由定理2有 其中≠ 1,故“ =”不成立,所以數列為單調遞增數列,又因為 其中,故“ =”不成立,故,即上式對一切偶數成立, 又為單調遞增數列, 故對一切正整數n, 有 4, 故有上界.根據定理1推論1,數列收斂.下面利用這種方法給出另外兩個問題的證明方法.問題二:證明數列收斂.證明　比較數列前幾項, 猜想數列為單調遞減數列, 下面需要證明, 即.由定理2　下面證明化簡得 ,即顯然成立.故,所以數列為單調遞減數列. 又顯然 0,則數列有下界.根據定理1推論2,數列收斂.問題三:證明數列收斂證明　由猜想數列為單調遞增數列, 需證. 即要證,又.由定理2,所以.　　下面要明證化簡得: ,即有: ,顯然成立.因此, 故數列為單調遞增數列. 又,由問題一知. 所以數列有上界.由定理1推論1,數列收斂.綜上問題的證明過程中,有一定的分析的思路,過程簡潔,比較容易理解.　 要解決實際問題, 需要運用數學模型, 而某些數學模型常用到不等式的知識,. 　例1 　小強家住農村,十月一日國慶節回家,正趕上父親收割莊稼,由于今年大豐收糧食太多,自家糧倉全部裝滿, 還剩下很多. 這時爸爸想出一個主意,決定用一塊長方形木板, 借助兩面成直角的墻,在屋子的墻角處圍成一個直三棱柱的谷倉, 木板可立,可橫. 小強心想,這么多糧食,怎樣圍才能裝最多的糧食呢? 經過測算,小強得出滿意的答案,向父親提供了建議,請你敘述小強的做法. 如果換成任意的兩面墻,如何處理?解　小強用直尺測出木板的長為a ,寬為b ,依題意a b 0.1) 以a 作谷倉的底邊,設為底面三角形的面積, 兩直角邊一個是x , 另一個是y , 則 ,且,當且僅當 時,取“= ”.2) 以b 作谷倉的底面, 同1) 可得, 當且僅當時取“ = ”.又 , ∴故把長方形木板的長邊放在底面, ,可簡解如下:設用矩形長a 作直三棱柱的側棱,寬b 作為底面的一條邊,底面另兩邊長分別是x , y ,體積為V ,則 .,整理得,當且僅當x = y 時取“= ”.如果以矩形木板的寬為b 作側棱, 則當x = y時, ..例2 　制作容積一定的有蓋圓柱形罐頭, 當圓柱高h 和底面半徑r 的比為何值時,使用的材料最省? (不計加工損耗)解　設圓柱的體積為V , 則有, , 則圓柱形罐頭的表面積, 當且僅當, 即 時, 材料最省. 此時有 , ∴ h∶r = 2∶1 ,即圓柱形的高與底面半徑之比為2∶1 時,使用的材料最省.例3 　某公司投資興辦甲、乙兩個分公司, 2001年甲分公司獲得利潤320 萬元, 乙分公司獲得利潤720 萬元,以后每年分公司的利潤甲為上年利潤的 ,而乙是上年利潤的 , 預期目標為兩分公司利潤之和是1600 萬元. 從2001 年初起,1) 哪一年兩分公司獲利之和最小。2) 需經過幾年即可達到預定目標(精確到1年) .解　1) 設從2001 年起,第n 年兩分公司獲利之和為當且僅當, 即, 即2 n 2 = 2 , n = 2 時等號成立,因此,第二年,即2002 年兩分公司利潤之和最小共960 萬元.2) 由1) 及題意知, 化簡. 設 ( x ≥1) ,原式可化為 ,解得 或(舍去) , 由此, , , n 4 ,即n ≥5 ,即經過5 年可達預期目標.點評　此題中可化為 , 屬型參考文獻[ 1 ] (高二)[M ].北京:冶金工業出版社, 2004[ 2 ] 《高中數學教材研究》主編李明振.[ 3 ][M].濟南：山東科學技術出版社,2004．[ 4 ][J].成都大學學報,2003（24）：3235．[ 5 ][J].云南民族大學學報,2006(11）：2224．[ 6 ][M].長沙：湖南教育出版社，1992．[ 7 ][M].成都：四川大學出版社,2001．[ 8 ] (ΦT施勒伊費爾(王玉懷譯).，1987,10[ 9 ]［ J］.湖北民族學院學報（自然科學版），1994（ ２） ：8890.[ 10 ]［ J］.青海師專學報，1997（ ４） ：3538.[ 11 ]華東師范大學數學系. 數學分析[M ].北京:高等教育出版社, 2001: 265 267.[ 12 ] 劉玉璉,[M ].北京:高等教育出版社, 2003: 198 199.[ 13 ]《數學手冊》[M ].北京:高等教育出版社, 1979: 105.謝辭感謝我的導師周小紅老師，她嚴謹細致、一絲不茍的作風一直是我工作、學習中的榜樣；她循循善誘的教導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪；從開始的搜集材料，初稿的審核到最后論文的定稿的整個過程中，老師都及時給予我建議，指出不足之處，幫助我更好地組織論文結構，不斷充實論文的內容。