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高等數學-第9章---(偏導數-全微分)-資料下載頁

2026-07-27 18:40本頁面

　　

【正文】數在點（ x， y）可微。 )y,x(fz ?討論函數： ??????????0yx00yxyxxy222222由以前的討論可知，在點（ 0， 0）處它的兩個偏導數都存在，可該函數在此點卻不連續，不連續肯定不可微。定理（可微的充分條件）如果函數的兩個偏導數在點（ x，y）都存在且連續，則該函數在該點可微。 )y,x(fz ? yz,xz ???? 以上有關概念和定理均可以推廣到三元及三元以上的函數中去。由于自變量的微分等于自變量的微分，故二元函數的全微分習慣上可寫為 )y,x(fz ?dyyzdxxzdz ??????類似地，三元函數的全微分為 )z,y,x(uu ?dzzudyyudxxudu ?????????例 1 求函數的全微分。 623 54 yxxyz ??解：先求函數的兩個偏導數： 52263 3012104 yxxyyzxyyxz ????????所以 dyyxxydxxyydz )3012()104( 5263 ????例 2 求函數在點（ 2， 1）處的全微分。 32),( yxyxf ?解：因為 12)1,2(,4)1,2(3),(,2),( 223???????yxyxffyxyxfxyyxf所以 dydxdz 124| )1,2( ???? 例 3 設函數在點（ 0， 0）有增量 Δx=， Δy=，求全微分 dz。 )y4x3s in (ez yx2 ??? ?解： ? ?3)y4x3c o s (e3)y4x3s i n (e2xz 0y 0xyx2yx20y0x??????? ??????? ? 4)y4x3c o s (e4)y4x3s i n (eyz0y0xyx2yx20y0x?????????????所以 ??????????? ??此題可理解為：在點（ 0， 0）處 x， y分別有增量Δx=， Δy=，函數也產生增量 Δz，并且Δz≈dz=。取 ,2y,1x00 ????? ??則 33 21)2,1(f ??2)2,1(f,)2,1(f yx ????所以 )( 33 ????????例 5 計算的近似值。解：構造函數，則 33 yx)y,x(f ??332x yx2x3)y,x(f???332y yx2y3)y,x(f??? 設一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來的 20厘米變到，高由原來的 40厘米減少到，求該金屬體體積變化的近似值。解： 20cm 40cm 設圓柱體的底面半徑為 r，高為 h，體積為V，則有 hrV 2?=此時 hrrrh2hhVrrVdV 2 ?????? ?+?=???+???=其中 r=20， h=40， Δr=， Δh= 故有 )cm()(32=+≈≈? — 即金屬體受壓后體積減少了。作業 ? 習題（ P52） ? 1 (3) 、 1 (6) 、 5(3) ? 習題（ P56） ? 1 (1) 、 1 (4) 、 5

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