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高考數學數列不等式證明題放縮法十種方法技巧總結-資料下載頁

2026-08-02 11:16本頁面

　　

【正文】思路2 所證不等式是與正整數n有關的命題，能否直接用數學歸納法給予證明？嘗試：（1）當時，成立；（2）假設命題對成立，即則當時，有，只要證明；即證，即證用二項式定理（展開式部分項）證明，再驗證前幾項即可。如下證明是否正確，請分析：易于證明對任意成立；于是【注】上述證明是錯誤的！因為：是遞增的，不能逐步“縮小”到所需要的結論。可修改如下：考慮是某數列的前n項和，則，只要證明思路3 深入觀察所證不等式的結構特征, 利用均值不等式可得如下妙證：由取倒數易得：，用n項的均值不等式：，例25 【解析】(Ⅰ) （Ⅱ）使不等式對一切正整數n都成立的充要條件是x1≥1. (Ⅲ) 基本思路：尋求合適的放縮途徑。探索1 著眼于通項特征，結合求證式特點，嘗試進行遞推放縮：即。于是由此遞推放縮式逐步放縮得探索2 從求證式特征嘗試分析：結論式可作如下變形：逆向思考，猜想應有：（用數學歸納法證明，略）。探索3 探索過渡“橋”，尋求證明加強不等式：由（2）知xn≥1，由此得。有嘗試證明證法1（數學歸納法，略）；法2 （用二項展開式部分項）：當n≥2時2n=(1+1)n≥ 此題還可發現一些放縮方法，如：。（每一項都小于1），而再證即，則需要歸納出條件n≥4.(前4項驗證即可)技巧積累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 14

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