(名師點評)高考數學復習-導數答疑-資料下載頁

　　

【正文】 導數．這里可將等式兩端取對數首先把它變成隱函數，再利用隱函數求導法．規范解法 兩端取對數lny＝g（x）lnf（x），兩端對x求導思路啟迪 該函數是由兩個函數的商構成，而商的分子和分母都是由三個函數的積所構成，若直接利用商與積的求導法則就比較麻煩，但若借助于兩端取對數，再利用隱函數的求導方法就比較簡單．規范解法 兩端取對數lny＝ln（x－1）＋ln（x－2）＋ln（x－3）－ln（x－4）－ln（x－5）－ln（x－6）,兩端對x求導14．怎樣利用導數判別函數的單調性？我們知道，如果函數f（x）在區間（a，b）內是增函數或是減函數，那么我們就說函數f（x）在區間（a，b）具有單調性，區間（a，b）稱為f（x）的單調區間．那么怎樣利用導數判別函數的單調性呢？設函數f（x）在（a，b）可導，則曲線y＝f（x）處處有切線．如圖34，曲線上每點的切線與x軸正向的夾角是銳角，即這時函數在（a，b）是增函數．如圖35曲線上每點的切線與x軸正向的夾角為鈍角，即此時函數f（x）在（a，b）是減函數．一般地，設函數y＝f（x）在區間I內可導，如果對任意的點x∈I，有則f（x）在I內是增函數，若對于任意的點x∈I，有則f（x）在I內為減函數．思路啟迪 利用導數判別函數單調性，首先要求函數的導數，然后確定導數在哪些范圍內是正值，哪些范圍內是負值，從而確定出函數的增減區間．即當x∈（－∞，1）∪（3，＋∞）時，f（x）是增函數．即當x∈（1，3）時，f（x）是減函數．（圖36）．即當x∈（－∞，0）時，f（x）是增函數．即當x∈（0，＋∞）時f（x）是減函數．（如圖37）．分析上面的例題，當x1或x3時，單調增加，當1x3時，f（x）單調減少，而當x＝1或x＝3時，．當x0時單調增加；當x0時，f（x）單調減少，而當x＝0時，．這說明使點x可能是f（x）單調增加與單調減少的分界點．因此討論可導函數的單調性，我們也可以按照以下步驟去作：即求出f（x）的導數，解出使的點，用這些點將f（x）的定義域分成若干個區間，然后在各個區間上判別的符號，從而可得f（x）在各個區間上的單調性．后兩步可用一個表格來完成．列表由上表可知：f（x）在（－∞－1）與（1，＋∞）上是單調增加的；在（－1，1）上是單調減少的．15．怎樣利用導數求可導函數的極值？已知函數在點O附近的任意點x，都有即函數在點O的值要比它附近的任意點的函數值都要小（如圖38），這時，我們稱函數在點O取極小值．而函數在點O附近的任意點x，都有，即函數在點O的值要比它附近的每一點的函數值都要大（如圖39），這時，我們就說在點O取極大值．一般地，設函數f（x）在點附近內有定義，若對點附近的每一點x，都有，我們就稱它為f（x）在點取極大值，是f（x）在點處的極大值，記作稱為函數f（x）的極大值點．如果對點附近的所有點x，都有，我們就稱函數f（x）在點取極小值，是f（x）在點處的極小值，記作稱為函數f（x）的極小值點．極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點．已知函數的導數是，在點O的值是0，即在點O的左側，即當x0時，有導數；在點O的右側，即當x0時，導數函數在點O取極小值．函數的導數是在點O的左側，即當x0時，有導數；在點O的右側，即當時，有導數．函數在點O取極大值．一般地，當函數f（x）在點的附近可導時，我們判別函數f（x）在點處取極大（小）值的方法是：（1）若在點的左側，右側則是極小值．（2）若在點的左側，右側則是極大值．從上面的討論，我們可以看到，若f（x）在點可導，且在點取極值，則有，即可導的極值點滿足．但是滿足的點不一定是極值點，如，在O點處的值，但O不是f（x）的極值點．一般地，我們求函數極值的步驟是：（Ⅲ）判別函數f（x）的導數在每個根兩側的符號，并根據的符號確定f（x）在是否取極值．思路啟迪 求出并令得其根等，用將函數的定義域分成若干個區間，在每個區間上用的符號列出y的增減性．所以，當x＝－1時，有極小值；當x＝1時，有極大值．列表16．怎樣利用導數求函數在閉區間上的最大值與最小值？對于實際問題該怎樣解決？在生產實踐和工程技術中，常常遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使“產品最多”、“收益最大”、“用料最省”、“成本最低”和“效率最高”等問題，這類問題在數學上有時可歸納為求某函數的最大值或最小值問題．如圖3－11，在閉區間[a，b]上，對于[a，b]，都有f（x）≥f（b），f（b）就稱為f（x）在[a，b]上的最小值；對于[a，b]，有就稱為f（x）在[a，b]上的最大值．一般地，設f（x）在區間I上有定義，若存在點，使對每一點x∈[a，b]都有，則稱f（x）在I上有最大值，記為M，即；若存在點，使對每一點x∈[a，b]都有，則稱函數f（x）在I上有最小值，記為m．即．一般地，若y＝f（x）在[a，b]上連續，則f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．但函數y＝f（x）在開區間（a，b）內連續，則不一定有最大值與最小值．如在（0，＋∞）內連續，但f（x）在（0，＋∞）內沒有最大值與最小值．從圖3－11可以看出，若函數的最小值在區間[a，b]的內部間取得，則必在極小值點取得；若函數的最大值在區間[a，b]的內部取得，則必在極大值點取得．最大值與最小值也可能在端點取得，而在極值的討論中，我們可以看出，對于可導函數來說，極值點可能在使的點x處取得．因此，對于可導函數來說，它的最大值與最小值若在區間的內部取得，只可能在使得的點取得．根據以上分析，若f（x）在[a，b]上連續且可導，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟為：（2）將f（a）,f（b），進行比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．思路啟迪 因為所給函數在[－3，4]上可導，所以，只需把的點與端點的值比較而可得出．比較可得，函數f（x）在x＝4取得它在[－3，4]上的最大值f（4）＝142；在x＝1取得它在[－3，4]上的最小值f（1）＝7．對于一個實際問題而言，如果在（a，b）內部的根只有一個，而從實際含義分析知在（a，b）內一定有最大值或最小值存在．那么一般來說，就是所要求的最大值或最小值．例2 已知一木材有直徑為d的圓截面，如何把它加工成為最堅固的矩形截面的橫梁．思路啟迪 依題意，要使橫梁最堅固，也即是使得橫梁的抗彎強度最大，因此，首先應找出抗彎強度與矩形截面的關系，然后確定矩形截面的長寬為何值時抗彎強度為最大．規范解法 如圖3—12所示，設橫梁矩形截面的底邊長為x，則其高為，由材料力學的知識得，強度同成正比，設強度為f(x)，于是有：而從實際問題分析知，f（x）應有最大值，所以當時，f（x）為最大，這時相應的高Wisdomamp。Love 第 34 頁 （共 34 頁） 2022年8月24日星期三