人教b版高中數學選修2-2第1章13第1課時利用導數判斷函數的單調性-資料下載頁

2025-11-08 20:10本頁面

【導讀】第1課時利用導數判斷函數的單調性。研究股票時，我們最關心的是股票的發展趨勢(走高或走。低)以及股票價格的變化范圍．從股票走勢曲線圖。來看，股票有升有降．在數學上，函數曲線也有升有降，就是。值x1、x2，當x2－x1>0時，都有f－f>0，則稱函數f在區。間M上是增函數；如果對于定義域A內某個區間M上的任意兩個。處的導數值，當切線斜率為正時，f′>0，切線的傾斜角小。切線的傾斜角大于90°，函數的曲線呈下降趨勢．如圖．。(a，b)為f的單調增區間；嚴格遞增，這時該函數在這個區間內為嚴格增函數；如果函數。求f′；確定f′在(a，b)內的符號；得出結。符號正負交替的分界點，即在分界點處f′＝0，為此，我們可。數的定義域，只能在定義域內，通過討論導數的符號來判斷函。單調性來證明，而導數和函數的單調性之間有著密切的關系，f的圖象最有可能是下列選項中的(). 軸的上方，表示導函數大于零，原函數的圖象呈上升趨勢；導。由x∈(0,1)時，圖象在x軸的下方，表示在此區間上，原

　　

【正文】 2－ 4x)m i n. 令 y ＝3 x2－ 4x＝ 3 x －4x，則 y ′ ＝ 3 ＋4x2 0 ，則 y ＝3 x2－ 4x＝ 3 x －4x在 [2 ，＋ ∞ ) 上為增函數， ym in＝ 4. 從而 a ≤ 2. ( 2 ) 若 f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 2 ax － 4 ≥ 0 在 ( － ∞ ，－ 2] 上恒成立，即2 a ≥3 x2－ 4x在 ( － ∞ ，－ 2] 上恒成立，只需 2 a ≥ (3 x2－ 4x)m ax. 令 y＝3 x2－ 4x＝ 3 x －4x，則 y ′ ＝ 3 ＋4x2 0 ，則 y ＝3 x2－ 4x＝ 3 x －4x在 ( －∞ ，－ 2] 上為增函數， ∴ ym ax＝－ 4. 從而 a ≥ － 2. 綜上， a 的取值范圍為 [ － 2 , 2 ] ． [ 方法總結 ] 利用導數與單調性的關系，求參數值 ( 或取值范圍 ) 首先，將問題轉化為不等式在某區間上的恒成立問題，即f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) 恒成立，利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取 “ ＝ ” 時是否滿足題意．恒成立問題的重要思路： ( 1 ) m ≥ f ( x ) 恒成立 ? m ≥ f ( x )m ax. ( 2 ) m ≤ f ( x ) 恒成立 ? m ≤ f ( x )m in. 已知函數 f(x)＝ 2ax－ x3， x∈ (0,1]， a0，若 f(x)在 (0,1]上是增函數，求 a的取值范圍． [ 解析 ] ∵ f ′ ( x ) ＝ 2 a － 3 x2≥ 0 在 ( 0 , 1 ] 上恒成立， ∴ 2 a ≥ 3 x2，即 a ≥32x2，在 ( 0 , 1 ] 上恒成立．又 x ∈ ( 0 , 1 ] ， ∴32x2∈????????0 ，32，即 a ≥32. ∴ a 的取值范圍為????????32，＋ ∞ . 若函數 f ( x ) ＝ x 3 ＋ x 2 ＋ mx ＋ 1 是 R 上的單調函數，求實數 x 的取值范圍． [ 錯解 ] f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 x ＋ m . 由于 f ( x ) 是 R 上的單調函數，所以 f ′ ( x ) 0 恒成立或 f ′ ( x ) 0恒成立．由于 3 0 ，所以只能有 f ′ ( x ) 0 恒成立．因此 Δ ＝ 4 － 12 m 0 ，故 m 13. 所以 m 的取值范圍是 (13，＋ ∞ ) ． [辨析 ] 參數在函數解析式中，可轉化為不等式恒成立問題．一般地，函數 f(x)在區間 Ⅰ 上單調遞增 (遞減 )；等價于不等式 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區間 Ⅰ 上恒成立，然后可借助分離參數等方法求出參數的取值范圍． [ 正解 ] f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 x ＋ m . 由于 f ( x ) 是 R 上的單調函數，所以 f ′ ( x ) ≥ 0 恒成立或f ′ ( x ) ≤ 0 恒成立．由于 3 0 ，所以只能有 f ′ ( x ) ≥ 0 恒成立．因此 Δ ＝ 4 － 12 m ≤ 0 ，故 m ≥13. 當 m ＝13時，使 f ′ ( x ) ＝ 0 的點只有一個 x ＝－13，也符合題意，故 m 的取值范圍是 [13，＋ ∞ ). 利用導數判斷函數的單調性????????? 用函數的導數判斷函數的單調性 ? 了解 ?求函數的單調區間 ? 掌握 ?證明不等式求參數的取值范圍導數與函數圖象的關系

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