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高中數學1-2第3課時等比數列的前n項和同步導學案北師大版必修5-資料下載頁

2025-11-10 20:39本頁面

【導讀】應用時，特別要注意q=1和q≠1這兩種情況.不等于1，如果q可能等于1，則需分q=1和q≠1進行討論.除課本上用錯位相減法推導求和公式外，還可以用下面的方法推導.∵當n≥2時，Sn=a1+a2+a3+…錯位相減法，合比定理法，拆項法及an與Sn的關系的應用，在今后解題中要時常用到，錯位相減法適用于{an}為等差數列，{bn}為等比數列，求{an·bn}的前n項和.衡量等比數列的量共有五個：a1,q,n,an,，解決等比數列問題時，可見，非常數列的等比數列的前n項和Sn是由關于n的一個指數式與一個常數的和構成的，當q≠1時，數列S1,S2,S3,…［例1］設數列｛an｝是等比數列，其前n項和為Sn,且S3=3a3,求此數列的公比q.［分析］利用等比數列前n項的性質求解.［說明］等比數列連續等段的和若不為零時，則連續等段的和仍成等比數列.解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.

　　

【正文】 1+15=377. {an}中，已知對于任意 n∈ N+,有 a1+a2+… +an=2n1,則 a21+a22+… +a2n= . ［答案］ 31 4n31 ［解析］ ∵ a1+a2+… +an=2n1, ∴ a1+a2+… +an1=2n11(n≥ 2), 兩式相減，得 an=2n12n1+1=2n2n1=2n1, ∴ a2n=(2n1) 2=22n2=4n1, ∴ a21+a22+… +a2n= 4141??n =31 4n31 . 三、解答題 {an}中，已知 a3=121， S3=421，求 a1與 q. S3=qqa ??1 )1( 31=421 ［解析］（ 1）若 q≠ 1,則， a3=a1q2=121 從而解得 q=1或 q=21 . q=21 ∵ q≠ 1,∴ . a1=6 S3=3a1=421 q=1 （ 2）若 q=1,則，∴ . a3=a1=121 a1=121 q=21 q=1 綜上所述得，或 . a1=6 a1=121 14.(2020大綱文科， 17)設等比數列 {an}的前 n項和為 Sn，已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an和 Sn. ［分析］設出公比根據條件列出關于 a1與 q的方程 .求得 a1與 q可求得數列的通項公式和前 n項和公式 . ［解析］設 {an}的公比為 q，由已知有： a1q=6 a1=3 a1=2 .解得或 6a1+a1q2=30 q=2 q=3 (1)當 a1=3,q=2時， an=a1 qn1=3 2n1 Sn=qqa n??1 )1(1= 21 )21(3 ??? n =3 (2n1) (2)當 a1=2,q=3時， an=a1 qn1=2 3n1 Sn=qqa n??1 )1(1= 31 )31(2 ??? n =3n1. 綜上， an=3 2n1,Sn=3 (2n1)或 an=2 3n1,Sn=3n1. ｛ an｝是等比數列，其中 a7=1,且 a4,a5+1,a6成等差數列 . (1)求數列｛ an｝的通項公式； (2)數列｛ an｝的前 n項和記為 Sn,證明： Sn128(n=1,2,3,… ). ［解析］ (1)設等比數列｛ an｝的公比為 q(q∈ R且 q≠ 1), 由 a7=a1q6=1,得 a1=q6,從而 a4=a1q3=q3, a5=a1q4=q2,a6=a1q5=q1, 因為 a4,a5+1,a6成等差數列 , 所以 a4+a6=2(a5+1) 即 q3+q1=2(q2+1), q1 (q2+1)=2(q2+1). 所以 q=21 . 故 an=a1qn1=q6 qn1=qn7=（ 21 ） n7. (2)證明： Sn=qqa n??1 )1(1=211 21164?? ］）（［ n =128［ 1（ 21 ） n］ 128. ， A、 B兩家公司分別開出了工資標準： A公司 B公司第一年月工資為 1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加 230元．第一年月工資為２ 000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加 5％ . 大學生王明被 A、 B兩家公司同時錄取，而王明只想選擇一家連續工作 10年，經過一番思考，他選擇了 A公司，你知道為什么嗎？ . ［解析］ A公司 B公司第一年月工資為 1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加 230元．第一年月工資為２ 000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加 5％ . 王明的選擇過程第 n年月工資為 an 第 n年月工資為 bn 首項為 1500，公差為 230的等差數列首項為 2020，公比為 1＋ 5％的等比數列 an=230n+1270 bn=2020(1+5%)n1 S10=12(a1+a2+… +a10) =12［ 101500+ 2 )110(10 ?? 230］ =304200 T10=12(b1+b2+… +b10) =12 )(2020 10?? ≈ 301869 結論顯然 S10T10,故王明選擇了 A公司

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