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高中數(shù)學(xué)北師大版必修5等比數(shù)列的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案-資料下載頁(yè)

2025-11-29 02:37本頁(yè)面

【導(dǎo)讀】、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的性質(zhì).式的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用,這些性質(zhì)在數(shù)列中地位重要.若m+n=p+q,則,特別地,若m+n=2p,則.②若{an}為等比數(shù)列,公比為q,則{a2n}也是等比數(shù)列,公比為.前n項(xiàng)和公式法:若Sn=k·qn+,則{an}是等比數(shù)。當(dāng)a1>0,q>1時(shí),等比數(shù)列{an}是遞數(shù)列;{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=6,S4=30,則S6=.{an}的通項(xiàng)an=2·3n,求由其奇數(shù)項(xiàng)所組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.記dn=an+1-an,求證:{dn}是等比數(shù)列.在等比數(shù)列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.已知函數(shù)f=-x2+7x,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)Pn均在函數(shù)y=f的。{an}共有2n+1項(xiàng),奇數(shù)項(xiàng)之積為100,偶數(shù)項(xiàng)之積為120,則an+1=.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若=3,則等于().問題1:qn-mam·an=ap·aqam·an=qk①q②q2③q2④。由a2021=3S2021+2021與a2021=3S2021+2021相減得,a2021-a2021=3a2021,即q=4,故選A.列,∵S2=6,S4-S2=24,∴S6-S4==96,∴S6=S4+96=126.∴S2,S4-S2,S6-S4也為等比數(shù)列,(法二)∵S2=7,S6=91,∴q≠1.等比數(shù)列中項(xiàng)數(shù)相等的連續(xù)項(xiàng)的和若不為零時(shí),則連續(xù)項(xiàng)的和仍成等比數(shù)列.故數(shù)列{dn}是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.

　　

【正文】 3n= +S2n= +60=63. 應(yīng)用二 :原式可變?yōu)?= +1, ∴ 可變形為 + =3( + ), ∴ { + }為等比數(shù)列 ,首項(xiàng)為 + = ,公比為 3, ∴ + = 3 n1,∴a n= . 應(yīng)用三 :(1)∵ 點(diǎn) Pn(n,Sn)(n∈N +)均在函數(shù) y=f(x)的圖像上 ,且 f(x)=x2+7x, ∴ 有 Sn=n2+7n. 當(dāng) n=1時(shí) ,a1=S1=6。當(dāng) n≥2 時(shí) ,an=SnSn1=2n+8,a1=6適合上式 , ∴a n=2n+8(n∈N +). ∵S n=n2+7n=(n )2+ ,∴ 當(dāng) n=3或 n=4時(shí) ,Sn取得最大值 12. 綜上 ,an=2n+8(n∈N +),當(dāng) n=3或 n=4時(shí) ,Sn取得最大值 12. (2)由題意得 b1= =8,bn= =2n+4, ∴ = , ∴ 數(shù)列 {bn}是首項(xiàng)為 8,公比為的等比數(shù)列 , 故 {nbn}的前 n項(xiàng)和 Tn=1 23+2 22+… +n 2n+4, ① Tn=1 22+2 2+… +(n1) 2n+4+n 2n+3, ② ∴① ② 得 : Tn=23+22+… +2n+4n 2n+3, ∴T n= n2 4n=32(2+n)2 4n. 基礎(chǔ)智能檢測(cè) 由題意知 anq2=an+3anq,∴q 23q1=0,∴q= 或 q= (舍去 ). ∵ {an}為等比數(shù)列 ,顯然 S6S3≠0, ∴S 3,S6S3,S9S6成等比數(shù)列 ,即 (S6S3)2=S3( S9S6),又 ∵S 6∶S 3=1∶ 2,∴ =S3(S9 S3),即 S3=S9,∴S 9∶S 3=3∶ 4. 3. an+1 為數(shù)列 {an}的中間項(xiàng) ,其中奇數(shù)項(xiàng)有 n+1 項(xiàng) ,偶數(shù)項(xiàng)有 n 項(xiàng) ,且奇數(shù)項(xiàng)之積為 T 奇=(an+1)n+1,偶數(shù)項(xiàng)之積為 T 偶 =(an+1)n,所以 an+1= = . :設(shè)該等比數(shù)列有 2n項(xiàng) ,則奇數(shù)項(xiàng)有 n項(xiàng) ,偶數(shù)項(xiàng)有 n項(xiàng) ,設(shè)公比為 q,由等比數(shù)列的性質(zhì) 可得 = =2= ∵S 奇 +S 偶 = =255,a1=1,∴ 2n=8,∴ 此數(shù)列的公比為 2,項(xiàng)數(shù)為 8. 全新視角拓展 B ∵ = =q3+1=3,∴q 3=2,∴ = = = .

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